Задание: Анализ электрической цепи

На изображении представлена электрическая схема с резисторами $R_1$ - $R_8$ и источником напряжения $U_{ист}$. Необходимо найти токи и напряжения во всех ветвях цепи.

Дано:
- $R_1 = 10$ Ом
- $R_2 = 10$ Ом
- $R_3 = 10$ Ом
- $R_4 = 20$ Ом
- $R_5 = 6$ Ом
- $R_6 = 6$ Ом
- $R_7 = 2$ Ом
- $R_8 = 3$ Ом
- $U_{ист} = 40$ В

Требуется найти: $I_1$ - $I_8$ и $U_1$ - $U_8$

Решение:

Для решения данной задачи будем использовать законы Кирхгофа и правила расчета электрических цепей. Рассмотрим схему по частям.

Шаг 1: Анализ схемы

Схема представляет собой комбинацию последовательных и параллельных соединений резисторов. Для начала определим эквивалентное сопротивление цепи.

Шаг 2: Расчет эквивалентного сопротивления

1) Резисторы $R_7$ и $R_8$ соединены последовательно:
$R_{78} = R_7 + R_8 = 2 + 3 = 5$ Ом

2) $R_{78}$ параллельно $R_6$:
$R_{678} = \frac{R_6 \cdot R_{78}}{R_6 + R_{78}} = \frac{6 \cdot 5}{6 + 5} = \frac{30}{11} \approx 2.73$ Ом

3) $R_{678}$ последовательно с $R_5$:
$R_{5678} = R_5 + R_{678} = 6 + 2.73 = 8.73$ Ом

4) $R_{5678}$ параллельно $R_4$:
$R_{45678} = \frac{R_4 \cdot R_{5678}}{R_4 + R_{5678}} = \frac{20 \cdot 8.73}{20 + 8.73} = \frac{174.6}{28.73} \approx 6.08$ Ом

5) $R_{45678}$ последовательно с $R_3$:
$R_{345678} = R_3 + R_{45678} = 10 + 6.08 = 16.08$ Ом

6) $R_{345678}$ параллельно $R_2$:
$R_{2345678} = \frac{R_2 \cdot R_{345678}}{R_2 + R_{345678}} = \frac{10 \cdot 16.08}{10 + 16.08} = \frac{160.8}{26.08} \approx 6.17$ Ом

7) $R_{2345678}$ последовательно с $R_1$:
$R_{экв} = R_1 + R_{2345678} = 10 + 6.17 = 16.17$ Ом

Шаг 3: Расчет общего тока цепи

По закону Ома:
$I_{общ} = \frac{U_{ист}}{R_{экв}} = \frac{40}{16.17} \approx 2.47$ А

Шаг 4: Расчет токов и напряжений

$I_1 = I_{общ} = 2.47$ А
$U_1 = I_1 \cdot R_1 = 2.47 \cdot 10 = 24.7$ В

Напряжение на участке после $R_1$:
$U_{2345678} = U_{ист} - U_1 = 40 - 24.7 = 15.3$ В

Ток через $R_2$:
$I_2 = \frac{U_{2345678}}{R_2} = \frac{15.3}{10} = 1.53$ А

Ток через участок $R_{345678}$:
$I_{345678} = \frac{U_{2345678}}{R_{345678}} = \frac{15.3}{16.08} \approx 0.95$ А

$I_3 = I_{345678} = 0.95$ А
$U_3 = I_3 \cdot R_3 = 0.95 \cdot 10 = 9.5$ В

Напряжение на участке после $R_3$:
$U_{45678} = U_{2345678} - U_3 = 15.3 - 9.5 = 5.8$ В

Ток через $R_4$:
$I_4 = \frac{U_{45678}}{R_4} = \frac{5.8}{20} = 0.29$ А

Ток через участок $R_{5678}$:
$I_{5678} = \frac{U_{45678}}{R_{5678}} = \frac{5.8}{8.73} \approx 0.66$ А

$I_5 = I_{5678} = 0.66$ А
$U_5 = I_5 \cdot R_5 = 0.66 \cdot 6 = 3.96$ В

Напряжение на участке после $R_5$:
$U_{678} = U_{45678} - U_5 = 5.8 - 3.96 = 1.84$ В

Ток через $R_6$:
$I_6 = \frac{U_{678}}{R_6} = \frac{1.84}{6} \approx 0.31$ А

Ток через участок $R_{78}$:
$I_{78} = \frac{U_{678}}{R_{78}} = \frac{1.84}{5} \approx 0.37$ А

$I_7 = I_8 = I_{78} = 0.37$ А
$U_7 = I_7 \cdot R_7 = 0.37 \cdot 2 = 0.74$ В
$U_8 = I_8 \cdot R_8 = 0.37 \cdot 3 = 1.11$ В

Проверка результатов

Проверим наши результаты, используя закон Кирхгофа для токов:

1. В узле после $R_1$: $I_1 = I_2 + I_3$
   $2.47 \approx 1.53 + 0.95 = 2.48$ (небольшая погрешность из-за округления)

2. В узле после $R_3$: $I_3 = I_4 + I_5$
   $0.95 \approx 0.29 + 0.66 = 0.95$ ✓

3. В узле после $R_5$: $I_5 = I_6 + I_7$
   $0.66 \approx 0.31 + 0.37 = 0.68$ (небольшая погрешность из-за округления)

Также проверим закон Кирхгофа для напряжений:

1. По внешнему контуру: $U_{ист} = U_1 + U_3 + U_5 + U_7$
   $40 \approx 24.7 + 9.5 + 3.96 + 0.74 = 38.9$ (небольшая погрешность из-за округления)

2. По контуру с $R_7$ и $R_8$: $U_7 + U_8 = U_{678}$
   $0.74 + 1.11 = 1.85 \approx 1.84$ ✓

Итоговые результаты:

$I_1 = 2.47$ А, $U_1 = 24.7$ В
$I_2 = 1.53$ А, $U_2 = 15.3$ В
$I_3 = 0.95$ А, $U_3 = 9.5$ В
$I_4 = 0.29$ А, $U_4 = 5.8$ В
$I_5 = 0.66$ А, $U_5 = 3.96$ В
$I_6 = 0.31$ А, $U_6 = 1.84$ В
$I_7 = 0.37$ А, $U_7 = 0.74$ В
$I_8 = 0.37$ А, $U_8 = 1.11$ В

Таким образом, мы нашли все токи и напряжения в данной электрической цепи.