Задача 26

Дан однородный тонкий стержень массой $m$, один конец которого шарнирно прикреплён к потолку, а другой опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha = 30°$. Доска движется поступательно влево с постоянной скоростью под действием горизонтальной силы $\vec{F}$. Стержень при этом неподвижен. Требуется найти массу стержня $m$, если $F = 2$ Н, а коэффициент трения стержня по доске $\mu = 0,2$.

Решение:

1. Анализ условия задачи

Стержень находится в равновесии, несмотря на движение доски. Это означает, что сумма всех сил и моментов сил, действующих на стержень, равна нулю.

2. Определим силы, действующие на стержень:

• Сила тяжести $\vec{mg}$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру масс стержня
• Сила реакции опоры $\vec{N}$ от доски, направленная перпендикулярно доске
• Сила трения $\vec{F}_{тр}$ между стержнем и доской, направленная вправо (противоположно движению доски)
• Сила реакции шарнира $\vec{R}$, которую можно разложить на горизонтальную $\vec{R}_x$ и вертикальную $\vec{R}_y$ составляющие

3. Запишем условия равновесия стержня

Для равновесия стержня необходимо, чтобы сумма всех сил и моментов сил была равна нулю.

Сумма проекций сил на ось X:
$R_x - F_{тр} \cdot \cos\alpha = 0$

Сумма проекций сил на ось Y:
$R_y - mg + N \cdot \cos\alpha + F_{тр} \cdot \sin\alpha = 0$

Сила трения связана с силой нормальной реакции:
$F_{тр} = \mu \cdot N$

4. Рассмотрим равновесие доски

На доску действуют:
- Сила $\vec{F} = 2$ Н, направленная влево
- Сила нормальной реакции от стержня $-\vec{N}$
- Сила трения от стержня $-\vec{F}_{тр}$

Для равномерного движения доски необходимо:
$F - N \cdot \sin\alpha - F_{тр} \cdot \cos\alpha = 0$

5. Запишем уравнение моментов сил относительно шарнира

Пусть длина стержня равна $L$. Тогда момент силы тяжести относительно шарнира:
$M_{mg} = mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos\alpha$

Момент силы нормальной реакции:
$M_N = N \cdot L \cdot \cos\alpha$

Момент силы трения:
$M_{F_{тр}} = F_{тр} \cdot L \cdot \sin\alpha$

Уравнение моментов:
$M_{mg} - M_N - M_{F_{тр}} = 0$

$mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos\alpha - N \cdot L \cdot \cos\alpha - F_{тр} \cdot L \cdot \sin\alpha = 0$

Сокращая на $L$:
$mg \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos\alpha - N \cdot \cos\alpha - F_{тр} \cdot \sin\alpha = 0$

6. Решение системы уравнений

Из уравнения для доски:
$F - N \cdot \sin\alpha - \mu \cdot N \cdot \cos\alpha = 0$

$F = N \cdot \sin\alpha + \mu \cdot N \cdot \cos\alpha = N(\sin\alpha + \mu \cdot \cos\alpha)$

Отсюда:
$N = \frac{F}{\sin\alpha + \mu \cdot \cos\alpha}$

Подставляем числовые значения: $F = 2$ Н, $\alpha = 30°$, $\mu = 0,2$

$N = \frac{2}{\sin30° + 0,2 \cdot \cos30°} = \frac{2}{0,5 + 0,2 \cdot 0,866} = \frac{2}{0,5 + 0,1732} = \frac{2}{0,6732} \approx 2,97$ Н

Теперь найдем силу трения:
$F_{тр} = \mu \cdot N = 0,2 \cdot 2,97 = 0,594$ Н

Из уравнения моментов:
$mg \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos\alpha - N \cdot \cos\alpha - F_{тр} \cdot \sin\alpha = 0$

$mg \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos\alpha = N \cdot \cos\alpha + F_{тр} \cdot \sin\alpha$

$mg = \frac{2(N \cdot \cos\alpha + F_{тр} \cdot \sin\alpha)}{\cos\alpha}$

$mg = 2N + \frac{2F_{тр} \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha} = 2N + 2F_{тр} \cdot \tan\alpha$

Подставляем числовые значения:
$mg = 2 \cdot 2,97 + 2 \cdot 0,594 \cdot \tan30° = 5,94 + 2 \cdot 0,594 \cdot 0,577 = 5,94 + 0,686 = 6,626$ Н

Таким образом, $m = \frac{6,626}{g} = \frac{6,626}{9,8} \approx 0,676$ кг

Ответ: масса стержня $m \approx 0,68$ кг.

Обоснование применимости законов

В решении задачи мы использовали следующие законы и принципы:

1. Первый закон Ньютона - стержень находится в равновесии, поэтому сумма всех сил и моментов сил, действующих на него, равна нулю.

2. Закон Амонтона-Кулона для силы трения: $F_{тр} = \mu \cdot N$, где $\mu$ - коэффициент трения, $N$ - сила нормальной реакции.

3. Принцип суперпозиции сил - рассмотрение независимого действия каждой силы и их векторное сложение.

4. Правило моментов сил - для равновесия тела необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно любой оси была равна нулю.