Задание 9

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 \sin(\omega t + \varphi)$, где $t$ – время в секундах, амплитуда $U_0 = 2$ В, частота $\omega = 150^{\circ}/с$, фаза $\varphi = 45^{\circ}$. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение:

1. Определим условие, при котором лампочка горит: $U \ge 1$ В. Подставим заданные значения в уравнение для напряжения:
   $2 \sin(150^{\circ} t + 45^{\circ}) \ge 1$
   $\sin(150^{\circ} t + 45^{\circ}) \ge \frac{1}{2}$

2. Найдем значения аргумента синуса, при которых $\sin(x) = \frac{1}{2}$. Это происходит при $x = 30^{\circ}$ и $x = 150^{\circ}$. Следовательно, лампочка горит, когда:
   $30^{\circ} \le 150^{\circ} t + 45^{\circ} \le 150^{\circ}$

3. Решим неравенство относительно $t$:
   $30^{\circ} - 45^{\circ} \le 150^{\circ} t \le 150^{\circ} - 45^{\circ}$
   $-15^{\circ} \le 150^{\circ} t \le 105^{\circ}$
   $-\frac{15}{150} \le t \le \frac{105}{150}$
   $-\frac{1}{10} \le t \le \frac{7}{10}$

4. Так как время не может быть отрицательным, рассматриваем интервал $0 \le t \le 1$. Тогда лампочка горит при $0 \le t \le \frac{7}{10}$ секунды.

5. Найдем момент времени, когда синус станет больше 1/2 во второй раз:
   $\sin(150^{\circ} t + 45^{\circ}) \ge \frac{1}{2}$
   $360^{\circ} + 30^{\circ} \ge 150^{\circ} t + 45^{\circ} \ge 360^{\circ} + 150^{\circ}$
   $390^{\circ} - 45^{\circ} \ge 150^{\circ} t \ge 510^{\circ} - 45^{\circ}$
   $345^{\circ} \ge 150^{\circ} t \ge 465^{\circ}$
   $\frac{345}{150} \ge t \ge \frac{465}{150}$
   $2.3 \ge t \ge 3.1$

6. Найдем момент времени, когда синус станет больше 1/2 в первый раз:
   $30^{\circ} \le 150^{\circ} t + 45^{\circ} \le 150^{\circ}$
   $30^{\circ} - 45^{\circ} \le 150^{\circ} t \le 150^{\circ} - 45^{\circ}$
   $-15^{\circ} \le 150^{\circ} t \le 105^{\circ}$
   $-\frac{15}{150} \le t \le \frac{105}{150}$
   $-\frac{1}{10} \le t \le \frac{7}{10}$

7. Так как время не может быть отрицательным, рассматриваем интервал $0 \le t \le 1$. Тогда лампочка горит при $0 \le t \le \frac{7}{10}$ секунды.

8. Найдем момент времени, когда синус станет меньше 1/2 во второй раз:
   $510^{\circ} \le 150^{\circ} t + 45^{\circ} \le 540^{\circ} + 30^{\circ}$
   $465^{\circ} \le 150^{\circ} t \le 570^{\circ}$
   $\frac{465}{150} \le t \le \frac{570}{150}$
   $3.1 \le t \le 3.8$

9. Найдем момент времени, когда синус станет меньше 1/2 в первый раз:
   $-15^{\circ} \le 150^{\circ} t \le 105^{\circ}$
   $-\frac{15}{150} \le t \le \frac{105}{150}$
   $-\frac{1}{10} \le t \le \frac{7}{10}$

10. Так как время не может быть отрицательным, рассматриваем интервал $0 \le t \le 1$. Тогда лампочка горит при $0 \le t \le \frac{7}{10}$ секунды.

11. Найдем долю времени, в течение которого горит лампочка: $\frac{7}{10} = 0.7$. В процентах это составляет $70\%$.

Ответ: 70%