Привет! Я — ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу решить эти задачи.

Задание 4.11

1. Определение опасного сечения

Сначала необходимо определить участки с максимальным крутящим моментом.
* Участок 1: $T_1 = 400 \, \text{Н·м}$
* Участок 2: $T_2 = 400 \, \text{Н·м} + 400 \, \text{Н·м} = 800 \, \text{Н·м}$
* Участок 3: $T_3 = 800 \, \text{Н·м} - 600 \, \text{Н·м} = 200 \, \text{Н·м}$

Максимальный крутящий момент $T_{max} = 800 \, \text{Н·м}$.

2. Расчет диаметра из условия прочности

Условие прочности при кручении:
$\tau_{max} = \frac{T_{max}}{W_p} \le [\tau]$
Для круглого сечения: $W_p = \frac{\pi d^3}{16}$
Тогда:
$\frac{T_{max}}{\frac{\pi d^3}{16}} \le [\tau]$
$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 T_{max}}{\pi [\tau]}}$
Подставляем значения:
$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 \cdot 800 \, \text{Н·м}}{\pi \cdot 60 \cdot 10^6 \, \text{Па}}} = \sqrt[3]{\frac{16 \cdot 800}{\pi \cdot 60 \cdot 10^6}} \, \text{м} \approx 0.0405 \, \text{м} = 40.5 \, \text{мм}$

3. Расчет диаметра из условия жесткости

Условие жесткости при кручении:
$\theta = \frac{T}{GI_p} \le [\varphi]$
где $\theta$ - угол закручивания на единицу длины, $G$ - модуль сдвига, $I_p$ - полярный момент инерции.
Для круглого сечения: $I_p = \frac{\pi d^4}{32}$
Тогда:
$\frac{T_{max}}{G \frac{\pi d^4}{32}} \le [\varphi]$
$d \ge \sqrt[4]{\frac{32 T_{max}}{G \pi [\varphi]}}$
Подставляем значения:
$d \ge \sqrt[4]{\frac{32 \cdot 800 \, \text{Н·м}}{8 \cdot 10^4 \cdot 10^6 \, \text{Па} \cdot \pi \cdot 3 \cdot \frac{\pi}{180} \, \text{рад/м}}} \approx \sqrt[4]{\frac{32 \cdot 800}{8 \cdot 10^{10} \cdot \pi \cdot 3 \cdot \frac{\pi}{180}}} \, \text{м} \approx 0.0469 \, \text{м} = 46.9 \, \text{мм}$

4. Выбор окончательного диаметра

Выбираем наибольший диаметр из условий прочности и жесткости:
$d = \max(40.5 \, \text{мм}, 46.9 \, \text{мм}) = 46.9 \, \text{мм}$

Ответ: $d \approx 46.9 \, \text{мм}$

Задание 4.12

1. Определение крутящих моментов

Сначала нужно перевести мощность в крутящий момент.
$T = \frac{N}{\omega} = \frac{N}{2\pi n}$, где $N$ - мощность, $n$ - частота вращения.
$N = 18 \, \text{кВт} = 18000 \, \text{Вт}$
$n = 400 \, \text{об/мин} = \frac{400}{60} \, \text{об/сек} \approx 6.67 \, \text{об/сек}$
$T_0 = \frac{18000}{2 \pi \cdot \frac{400}{60}} \approx 429.72 \, \text{Н·м}$

Теперь определим крутящие моменты на участках:
* Участок 1: $T_1 = T_0 = 429.72 \, \text{Н·м}$
* Участок 2: $T_2 = T_0 - 5 \, \text{Н·м} = 429.72 - 5 = 424.72 \, \text{Н·м}$
* Участок 3: $T_3 = 424.72 - 20 = 404.72 \, \text{Н·м}$
* Участок 4: $T_4 = 404.72 - 15 = 389.72 \, \text{Н·м}$

Максимальный крутящий момент $T_{max} = 429.72 \, \text{Н·м}$.

2. Расчет диаметра из условия прочности

Условие прочности при кручении:
$\tau_{max} = \frac{T_{max}}{W_p} \le [\tau]$
Для круглого сечения: $W_p = \frac{\pi d^3}{16}$
Тогда:
$\frac{T_{max}}{\frac{\pi d^3}{16}} \le [\tau]$
$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 T_{max}}{\pi [\tau]}}$
Подставляем значения:
$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 \cdot 429.72 \, \text{Н·м}}{\pi \cdot 80 \cdot 10^6 \, \text{Па}}} = \sqrt[3]{\frac{16 \cdot 429.72}{\pi \cdot 80 \cdot 10^6}} \, \text{м} \approx 0.0304 \, \text{м} = 30.4 \, \text{мм}$

3. Расчет диаметра из условия жесткости

Условие жесткости при кручении:
$\theta = \frac{T}{GI_p} \le [\varphi]$
где $\theta$ - угол закручивания на единицу длины, $G$ - модуль сдвига, $I_p$ - полярный момент инерции.
Для круглого сечения: $I_p = \frac{\pi d^4}{32}$
Тогда:
$\frac{T_{max}}{G \frac{\pi d^4}{32}} \le [\varphi]$
$d \ge \sqrt[4]{\frac{32 T_{max}}{G \pi [\varphi]}}$
Подставляем значения:
$d \ge \sqrt[4]{\frac{32 \cdot 429.72 \, \text{Н·м}}{8 \cdot 10^4 \cdot 10^6 \, \text{Па} \cdot \pi \cdot 2 \cdot \frac{\pi}{180} \, \text{рад/м}}} \approx \sqrt[4]{\frac{32 \cdot 429.72}{8 \cdot 10^{10} \cdot \pi \cdot 2 \cdot \frac{\pi}{180}}} \, \text{м} \approx 0.0349 \, \text{м} = 34.9 \, \text{мм}$

4. Выбор окончательного диаметра

Выбираем наибольший диаметр из условий прочности и жесткости:
$d = \max(30.4 \, \text{мм}, 34.9 \, \text{мм}) = 34.9 \, \text{мм}$

Ответ: $d \approx 34.9 \, \text{мм}$

Ассистент: Конечно, сейчас объясню решение задачи 4.11 максимально подробно.

Задание 4.11: Подробное решение

1. Определение опасного сечения (максимального крутящего момента)

Цель: Найти участок вала, где крутящий момент достигает максимального значения. Это необходимо для дальнейших расчетов на прочность и жесткость.

Метод: Анализируем схему нагружения вала и определяем крутящий момент на каждом участке. Крутящий момент на участке равен сумме всех моментов, приложенных к валу слева от этого участка.

• Участок 1:
  • Приложен момент $400 \, \text{Н·м}$.
  • Крутящий момент на участке 1: $T_1 = 400 \, \text{Н·м}$.
• Участок 2:
  • Приложены моменты $400 \, \text{Н·м}$ и $400 \, \text{Н·м}$.
  • Крутящий момент на участке 2: $T_2 = 400 \, \text{Н·м} + 400 \, \text{Н·м} = 800 \, \text{Н·м}$.
• Участок 3:
  • Приложены моменты $400 \, \text{Н·м}$, $400 \, \text{Н·м}$ и $-600 \, \text{Н·м}$ (знак минус, так как момент направлен в противоположную сторону).
  • Крутящий момент на участке 3: $T_3 = 800 \, \text{Н·м} - 600 \, \text{Н·м} = 200 \, \text{Н·м}$.

Вывод: Максимальный крутящий момент $T_{max} = 800 \, \text{Н·м}$. Этот момент будет использоваться в расчетах прочности и жесткости.

2. Расчет диаметра из условия прочности

Цель: Определить минимальный диаметр вала, при котором обеспечивается его прочность при кручении.

Теория: Условие прочности при кручении:
$\tau_{max} = \frac{T_{max}}{W_p} \le [\tau]$
где:
* $\tau_{max}$ – максимальное касательное напряжение в сечении вала.
* $T_{max}$ – максимальный крутящий момент.
* $W_p$ – полярный момент сопротивления сечения вала.
* $[\tau]$ – допускаемое касательное напряжение (задано в условии: $[\tau] = 60 \, \text{МПа}$).

Для круглого сечения: $W_p = \frac{\pi d^3}{16}$, где $d$ – диаметр вала.

Решение:
1. Подставляем выражение для $W_p$ в условие прочности:
$\frac{T_{max}}{\frac{\pi d^3}{16}} \le [\tau]$
2. Выражаем диаметр $d$ из этого неравенства:
$d^3 \ge \frac{16 T_{max}}{\pi [\tau]}$
$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 T_{max}}{\pi [\tau]}}$
3. Подставляем известные значения:
$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 \cdot 800 \, \text{Н·м}}{\pi \cdot 60 \cdot 10^6 \, \text{Па}}}$
4. Вычисляем:
$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 \cdot 800}{\pi \cdot 60 \cdot 10^6}} \, \text{м} \approx 0.0405 \, \text{м} = 40.5 \, \text{мм}$

Вывод: Из условия прочности получаем, что диаметр вала должен быть не менее $40.5 \, \text{мм}$.

3. Расчет диаметра из условия жесткости

Цель: Определить минимальный диаметр вала, при котором обеспечивается его жесткость при кручении (ограничение по углу закручивания).

Теория: Условие жесткости при кручении:
$\theta = \frac{T}{GI_p} \le [\varphi]$
где:
* $\theta$ - угол закручивания на единицу длины (рад/м).
* $T$ - крутящий момент.
* $G$ - модуль сдвига (задан в условии: $G = 8 \cdot 10^4 \, \text{МПа}$).
* $I_p$ - полярный момент инерции сечения вала.
* $[\varphi]$ - допускаемый угол закручивания на единицу длины (задан в условии: $[\varphi] = 3 \, \text{град/м}$).

Для круглого сечения: $I_p = \frac{\pi d^4}{32}$.

Решение:

1. Переводим допускаемый угол закручивания из градусов в радианы:
   $[\varphi] = 3 \, \text{град/м} = 3 \cdot \frac{\pi}{180} \, \text{рад/м} \approx 0.0524 \, \text{рад/м}$
2. Подставляем выражение для $I_p$ в условие жесткости:
   $\frac{T_{max}}{G \frac{\pi d^4}{32}} \le [\varphi]$
3. Выражаем диаметр $d$ из этого неравенства:
   $d^4 \ge \frac{32 T_{max}}{G \pi [\varphi]}$
   $d \ge \sqrt[4]{\frac{32 T_{max}}{G \pi [\varphi]}}$
4. Подставляем известные значения:
   $d \ge \sqrt[4]{\frac{32 \cdot 800 \, \text{Н·м}}{8 \cdot 10^4 \cdot 10^6 \, \text{Па} \cdot \pi \cdot 3 \cdot \frac{\pi}{180} \, \text{рад/м}}}$
5. Вычисляем:
   $d \ge \sqrt[4]{\frac{32 \cdot 800}{8 \cdot 10^{10} \cdot \pi \cdot 3 \cdot \frac{\pi}{180}}} \, \text{м} \approx 0.0469 \, \text{м} = 46.9 \, \text{мм}$

Вывод: Из условия жесткости получаем, что диаметр вала должен быть не менее $46.9 \, \text{мм}$.

4. Выбор окончательного диаметра

Цель: Выбрать окончательный диаметр вала, который удовлетворяет как условию прочности, так и условию жесткости.

Метод: Выбираем наибольшее значение диаметра, полученное из условий прочности и жесткости.

$d = \max(40.5 \, \text{мм}, 46.9 \, \text{мм}) = 46.9 \, \text{мм}$

Ответ: Окончательный диаметр вала: $d \approx 46.9 \, \text{мм}$.

Ассистент: Конечно, сейчас объясню решение задачи 4.12 максимально подробно.

Задание 4.12: Подробное решение

1. Определение крутящих моментов

Цель: Определить крутящий момент на каждом участке вала.

Метод:
1. Сначала нужно перевести мощность, приложенную к валу, в крутящий момент.
2. Затем определить крутящие моменты на каждом участке, учитывая моменты, отводимые от вала.

1.1. Перевод мощности в крутящий момент

Формула для расчета крутящего момента по мощности и частоте вращения:
$T = \frac{N}{\omega} = \frac{N}{2\pi n}$
где:
* $T$ – крутящий момент (Н·м).
* $N$ – мощность (Вт).
* $\omega$ – угловая скорость (рад/с).
* $n$ – частота вращения (об/с).

Дано:
* $N = 18 \, \text{кВт} = 18000 \, \text{Вт}$
* $n = 400 \, \text{об/мин} = \frac{400}{60} \, \text{об/сек} \approx 6.67 \, \text{об/сек}$

Вычисляем:
$T_0 = \frac{18000}{2 \pi \cdot \frac{400}{60}} \approx 429.72 \, \text{Н·м}$

1.2. Определение крутящих моментов на участках

• Участок 1:
  • Крутящий момент на участке 1 равен моменту, приложенному к валу: $T_1 = T_0 = 429.72 \, \text{Н·м}$.
• Участок 2:
  • От вала отводится момент $5 \, \text{Н·м}$.
  • Крутящий момент на участке 2: $T_2 = T_0 - 5 \, \text{Н·м} = 429.72 - 5 = 424.72 \, \text{Н·м}$.
• Участок 3:
  • От вала отводится момент $20 \, \text{Н·м}$.
  • Крутящий момент на участке 3: $T_3 = 424.72 - 20 = 404.72 \, \text{Н·м}$.
• Участок 4:
  • От вала отводится момент $15 \, \text{Н·м}$.
  • Крутящий момент на участке 4: $T_4 = 404.72 - 15 = 389.72 \, \text{Н·м}$.

Вывод: Максимальный крутящий момент $T_{max} = 429.72 \, \text{Н·м}$.

2. Расчет диаметра из условия прочности

Цель: Определить минимальный диаметр вала, при котором обеспечивается его прочность при кручении.

Теория: Условие прочности при кручении:
$\tau_{max} = \frac{T_{max}}{W_p} \le [\tau]$
где:
* $\tau_{max}$ – максимальное касательное напряжение в сечении вала.
* $T_{max}$ – максимальный крутящий момент.
* $W_p$ – полярный момент сопротивления сечения вала.
* $[\tau]$ – допускаемое касательное напряжение (задано в условии: $[\tau] = 80 \, \text{МПа}$).

Для круглого сечения: $W_p = \frac{\pi d^3}{16}$, где $d$ – диаметр вала.

Решение:
1. Подставляем выражение для $W_p$ в условие прочности:
$\frac{T_{max}}{\frac{\pi d^3}{16}} \le [\tau]$
2. Выражаем диаметр $d$ из этого неравенства:
$d^3 \ge \frac{16 T_{max}}{\pi [\tau]}$
$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 T_{max}}{\pi [\tau]}}$
3. Подставляем известные значения:
$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 \cdot 429.72 \, \text{Н·м}}{\pi \cdot 80 \cdot 10^6 \, \text{Па}}}$
4. Вычисляем:
$d \ge \sqrt[3]{\frac{16 \cdot 429.72}{\pi \cdot 80 \cdot 10^6}} \, \text{м} \approx 0.0304 \, \text{м} = 30.4 \, \text{мм}$

Вывод: Из условия прочности получаем, что диаметр вала должен быть не менее $30.4 \, \text{мм}$.

3. Расчет диаметра из условия жесткости

Цель: Определить минимальный диаметр вала, при котором обеспечивается его жесткость при кручении (ограничение по углу закручивания).

Теория: Условие жесткости при кручении:
$\theta = \frac{T}{GI_p} \le [\varphi]$
где:
* $\theta$ - угол закручивания на единицу длины (рад/м).
* $T$ - крутящий момент.
* $G$ - модуль сдвига (задан в условии: $G = 8 \cdot 10^4 \, \text{МПа}$).
* $I_p$ - полярный момент инерции сечения вала.
* $[\varphi]$ - допускаемый угол закручивания на единицу длины (задан в условии: $[\varphi] = 2 \, \text{град/м}$).

Для круглого сечения: $I_p = \frac{\pi d^4}{32}$.

Решение:

1. Переводим допускаемый угол закручивания из градусов в радианы:
   $[\varphi] = 2 \, \text{град/м} = 2 \cdot \frac{\pi}{180} \, \text{рад/м} \approx 0.0349 \, \text{рад/м}$
2. Подставляем выражение для $I_p$ в условие жесткости:
   $\frac{T_{max}}{G \frac{\pi d^4}{32}} \le [\varphi]$
3. Выражаем диаметр $d$ из этого неравенства:
   $d^4 \ge \frac{32 T_{max}}{G \pi [\varphi]}$
   $d \ge \sqrt[4]{\frac{32 T_{max}}{G \pi [\varphi]}}$
4. Подставляем известные значения:
   $d \ge \sqrt[4]{\frac{32 \cdot 429.72 \, \text{Н·м}}{8 \cdot 10^4 \cdot 10^6 \, \text{Па} \cdot \pi \cdot 2 \cdot \frac{\pi}{180} \, \text{рад/м}}}$
5. Вычисляем:
   $d \ge \sqrt[4]{\frac{32 \cdot 429.72}{8 \cdot 10^{10} \cdot \pi \cdot 2 \cdot \frac{\pi}{180}}} \, \text{м} \approx 0.0349 \, \text{м} = 34.9 \, \text{мм}$

Вывод: Из условия жесткости получаем, что диаметр вала должен быть не менее $34.9 \, \text{мм}$.

4. Выбор окончательного диаметра

Цель: Выбрать окончательный диаметр вала, который удовлетворяет как условию прочности, так и условию жесткости.

Метод: Выбираем наибольшее значение диаметра, полученное из условий прочности и жесткости.

$d = \max(30.4 \, \text{мм}, 34.9 \, \text{мм}) = 34.9 \, \text{мм}$

Ответ: Окончательный диаметр вала: $d \approx 34.9 \, \text{мм}$.