Расчет токов в цепи методом контурных токов

Задание 1: Расчет токов в цепи методом контурных токов

Привет! Давай разберем эту задачу по электротехнике. Мы будем использовать метод контурных токов, который основан на законах Кирхгофа.

Исходные данные:

Сопротивления: $R_1 = 33$ Ом, $R_2 = 11$ Ом, $R_3 = 22$ Ом
Источники ЭДС: $E_2 = 44$ В, $E_3 = 66$ В

Шаг 1: Выбор контуров и направлений токов

В нашей схеме два независимых контура. Выберем направления контурных токов ($I_{k1}$ и $I_{k2}$) по часовой стрелке. Также обозначим направления токов в ветвях ($I_1, I_2, I_3$).

Ток $I_1$ течет через резистор $R_1$. Он равен контурному току $I_{k1}$.
$I_1 = I_{k1}$
Ток $I_2$ течет через резистор $R_2$ и источник $E_2$. Он равен разности контурных токов $I_{k1}$ и $I_{k2}$.
$I_2 = I_{k1} - I_{k2}$
Ток $I_3$ течет через резистор $R_3$ и источник $E_3$. Он равен контурному току $I_{k2}$.
$I_3 = I_{k2}$

Шаг 2: Составление системы уравнений по второму закону Кирхгофа

Составим уравнения для каждого контура. Правило: сумма падений напряжений на резисторах в контуре равна сумме ЭДС в этом же контуре.

Для контура 1 (с током $I_{k1}$):
$I_{k1} \cdot R_1 + (I_{k1} - I_{k2}) \cdot R_2 = E_2$
$I_{k1} \cdot (R_1 + R_2) - I_{k2} \cdot R_2 = E_2$

Для контура 2 (с током $I_{k2}$):
$(I_{k2} - I_{k1}) \cdot R_2 + I_{k2} \cdot R_3 = -E_3$
$-I_{k1} \cdot R_2 + I_{k2} \cdot (R_2 + R_3) = -E_3$

Примечание: ЭДС $E_3$ берется со знаком минус, так как ее направление противоположно направлению обхода контура $I_{k2}$.

Шаг 3: Подстановка значений и решение системы

Подставим числовые значения в систему:

$\begin{cases} I_{k1} \cdot (33 + 11) - I_{k2} \cdot 11 = 44 \ -I_{k1} \cdot 11 + I_{k2} \cdot (11 + 22) = -66 \end{cases}$

$\begin{cases} 44 \cdot I_{k1} - 11 \cdot I_{k2} = 44 \ -11 \cdot I_{k1} + 33 \cdot I_{k2} = -66 \end{cases}$

Упростим уравнения, разделив первое на 11, а второе на -11:

$\begin{cases} 4 \cdot I_{k1} - I_{k2} = 4 \ I_{k1} - 3 \cdot I_{k2} = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $I_{k1}$: $I_{k1} = 6 + 3 \cdot I_{k2}$.
Подставим в первое уравнение:

$4 \cdot (6 + 3 \cdot I_{k2}) - I_{k2} = 4$
$24 + 12 \cdot I_{k2} - I_{k2} = 4$
$11 \cdot I_{k2} = 4 - 24$
$11 \cdot I_{k2} = -20$
$I_{k2} = -\frac{20}{11} \approx -1.82$ А

Теперь найдем $I_{k1}$:
$I_{k1} = 6 + 3 \cdot (-\frac{20}{11}) = 6 - \frac{60}{11} = \frac{66 - 60}{11} = \frac{6}{11} \approx 0.55$ А

Шаг 4: Расчет токов в ветвях

Теперь, зная контурные токи, найдем реальные токи в ветвях:

$I_1 = I_{k1} = \frac{6}{11} \approx 0.55$ А
$I_2 = I_{k1} - I_{k2} = \frac{6}{11} - (-\frac{20}{11}) = \frac{6 + 20}{11} = \frac{26}{11} \approx 2.36$ А
$I_3 = I_{k2} = -\frac{20}{11} \approx -1.82$ А

Знак "минус" у тока $I_3$ означает, что его реальное направление противоположно тому, что мы выбрали на схеме.