{
"subject": "Математика",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение дробно-рациональных неравенств",
"description": "Подробное решение неравенств с дробными выражениями методом интервалов",
"keywords": ["дробно-рациональные неравенства", "метод интервалов", "алгебра", "математика", "решение неравенств"]
}

Давайте решим эти неравенства пошагово:

№1. Решаем неравенство $\frac{2x^2}{3x+7} \leq 0$

Шаг 1: Найдем область допустимых значений (ОДЗ)
* Знаменатель не должен равняться нулю: $3x + 7 \neq 0$
* $x \neq -\frac{7}{3}$

Шаг 2: Определяем знаки числителя и знаменателя
* Числитель $2x^2 \geq 0$ всегда, так как это квадрат, умноженный на положительное число
* Знаменатель $3x + 7$:
- при $x < -\frac{7}{3}$ отрицательный
- при $x > -\frac{7}{3}$ положительный

Шаг 3: Составляем решение
* Дробь будет ≤ 0 только когда числитель = 0 (так как знаменатель не может быть бесконечно большим)
* $2x^2 = 0$
* $x = 0$

Ответ: $x = 0$

№3. Решаем неравенство $\frac{1}{2-x} < \frac{x^2-5}{x-2}$

Шаг 1: Найдем ОДЗ
* $2-x \neq 0$ → $x \neq 2$
* $x-2 \neq 0$ → $x \neq 2$
Итого: $x \neq 2$

Шаг 2: Приведем к общему знаменателю
* $(1)(x-2) < (x^2-5)(2-x)$
* $x-2 < -x^2+5x-10$
* $x^2-4x+8 < 0$

Шаг 3: Решаем квадратное неравенство
* $D = 16-32 = -16$
* Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положительный, квадратный трехчлен всегда больше нуля

Ответ: решений нет

{
"subject": "Математика",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение дробно-рациональных уравнений и выражений со степенями",
"description": "Пошаговое решение задачи с дробно-рациональным уравнением и вычислением степенного выражения",
"keywords": ["дробно-рациональные уравнения", "алгебраические дроби", "степени", "математика", "алгебра"]
}

Решим задачу пошагово:

1) Сначала решим уравнение $\frac{x^2-2x}{x-3}=11+\frac{3x-6}{x-3}$

Шаг 1: Приведем к общему знаменателю правую часть
* $\frac{x^2-2x}{x-3}=\frac{11(x-3)+3x-6}{x-3}$
* $\frac{x^2-2x}{x-3}=\frac{11x-33+3x-6}{x-3}$
* $\frac{x^2-2x}{x-3}=\frac{14x-39}{x-3}$

Шаг 2: Приравняем числители (знаменатели одинаковые)
* $x^2-2x=14x-39$
* $x^2-16x+39=0$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение
* $D=256-156=100$
* $x_{1,2}=\frac{16\pm\sqrt{100}}{2}=\frac{16\pm10}{2}$
* $x_1=13$, $x_2=3$ (не подходит, т.к. $x≠3$)

2) Теперь вычислим выражение $(\frac{7^{\frac{1}{2}}⋅7^{\frac{1}{6}}}{^3\sqrt{7}})^3$

Шаг 1: Упростим числитель в скобках
* $7^{\frac{1}{2}}⋅7^{\frac{1}{6}}=7^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}=7^{\frac{4}{6}}=7^{\frac{2}{3}}$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель
* $^3\sqrt{7}=7^{\frac{1}{3}}$

Шаг 3: Получаем
* $(\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{1}{3}}})^3=(7^{\frac{1}{3}})^3=7$

Ответ: У друзей будет 7 гостей.

{
"subject": "Математика",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение уравнения и анализ графика функции",
"description": "Решение квадратного уравнения и исследование свойств функции по её графику",
"keywords": ["квадратное уравнение", "график функции", "алгебра", "функциональный анализ"]
}

Давайте решим это задание пошагово:

1) Решаем уравнение: $24x+1.5-24x-0.5=575$

Шаг 1: Упростим левую часть уравнения
* $24x+1.5-24x-0.5=575$
* Приведем подобные члены:
* $1.5-0.5=575$
* $1=575$

Шаг 2: Проверка
* Левая часть равна 1, а правая 575
* $1 \neq 575$

Значит, уравнение решений не имеет.

2) По графику функции можем определить:
* График представляет собой убывающую кривую
* Функция проходит через точки примерно (0,1) и (1,0)
* График похож на гиперболу
* Функция является непрерывной на своей области определения
* При увеличении x значения функции стремятся к отрицательным значениям

Ответ: Уравнение решений не имеет.

{
"subject": "Математика",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение уравнения с алгебраическими выражениями",
"description": "Пошаговое решение уравнения с рациональными выражениями",
"keywords": ["алгебраические выражения", "уравнения", "рациональные выражения", "упрощение выражений"]
}

Решим уравнение $24x+1,5-24x-0,5=575$

Шаг 1: Упростим левую часть уравнения
* Сгруппируем подобные члены:
* $(24x-24x)+(1,5-0,5)=575$
* $0+1=575$

Шаг 2: Проверяем полученное равенство
* $1=575$
* Это равенство неверно, так как 1 ≠ 575

Следовательно, уравнение решений не имеет.

Ответ: Нет решений.

Примечание: Это уравнение противоречиво, так как после упрощения мы получаем заведомо ложное утверждение 1 = 575. Это означает, что какие бы значения мы ни подставляли вместо x, равенство выполняться не будет.

{
"subject": "Математика",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Анализ графика функции",
"description": "Исследование свойств функции по её графическому представлению",
"keywords": ["график функции", "анализ функции", "возрастание и убывание", "координатная плоскость"]
}

Проанализируем график функции:

1) Основные характеристики:
* График проходит через точки примерно (0,1) и (1,0)
* Функция является убывающей на всей области определения
* Кривая похожа на гиперболу (обратная пропорциональность)

2) Свойства функции:
* Область определения: x ≠ -1 (предположительно)
* Функция непрерывна на своей области определения
* При увеличении x значения функции стремятся к отрицательным значениям
* При x → -∞ график стремится к +∞
* При x → +∞ график стремится к -∞

3) Дополнительные характеристики:
* Функция пересекает оси координат в точках (0,1) и (1,0)
* График расположен в I и IV четвертях координатной плоскости
* Нет точек экстремума
* Нет точек перегиба

По виду графика можно предположить, что это гиперболическая функция вида $f(x)=\frac{a}{x+b}+c$, где a, b, c - некоторые константы.