Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Сейчас помогу вам решить эту задачу.

Задание 1

Условие:

Дано: $2(2a\sqrt{5} + b\sqrt{15} + c\sqrt{19}) = a^2 + b^2 + c^2 + 54$.
Найти: $a^2 + b^2 + 2c^2$.

Решение:

1. Преобразуем данное уравнение:

   $4a\sqrt{5} + 2b\sqrt{15} + 2c\sqrt{19} = a^2 + b^2 + c^2 + 54$

2. Перенесем все члены в одну сторону:

   $a^2 - 4a\sqrt{5} + b^2 - 2b\sqrt{15} + c^2 - 2c\sqrt{19} + 54 = 0$

3. Выделим полные квадраты:

   $(a^2 - 4a\sqrt{5} + 20) + (b^2 - 2b\sqrt{15} + 15) + (c^2 - 2c\sqrt{19} + 19) = 0$

   $(a - 2\sqrt{5})^2 + (b - \sqrt{15})^2 + (c - \sqrt{19})^2 = 0$

4. Так как сумма квадратов равна нулю, то каждый квадрат должен быть равен нулю:

   $a - 2\sqrt{5} = 0 \Rightarrow a = 2\sqrt{5}$

   $b - \sqrt{15} = 0 \Rightarrow b = \sqrt{15}$

   $c - \sqrt{19} = 0 \Rightarrow c = \sqrt{19}$

5. Найдем $a^2$, $b^2$ и $c^2$:

   $a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

   $b^2 = (\sqrt{15})^2 = 15$

   $c^2 = (\sqrt{19})^2 = 19$

6. Вычислим значение выражения $a^2 + b^2 + 2c^2$:

   $a^2 + b^2 + 2c^2 = 20 + 15 + 2 \cdot 19 = 20 + 15 + 38 = 73$

Ответ:

$a^2 + b^2 + 2c^2 = 73$