Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Давайте решим эти уравнения по порядку.

Задание 2

Уравнение: $\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x} = 10$

1. Приведем к общему знаменателю: $\frac{1 + 3x}{x^2} = 10$
2. Умножим обе части на $x^2$: $1 + 3x = 10x^2$
3. Перенесем все в одну сторону: $10x^2 - 3x - 1 = 0$
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49$
5. Найдем корни: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{20} = \frac{3 + 7}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{20} = \frac{3 - 7}{20} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{5}$

Задание 4

Уравнение: $\frac{1}{(x-3)^2} = \frac{3}{x-3} + 4$

1. Замена переменной: пусть $y = \frac{1}{x-3}$. Тогда уравнение примет вид: $y^2 = 3y + 4$
2. Перенесем все в одну сторону: $y^2 - 3y - 4 = 0$
3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$
4. Найдем корни: $y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ и $y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
5. Вернемся к исходной переменной:
   • $\frac{1}{x-3} = 4 \Rightarrow 1 = 4(x-3) \Rightarrow 1 = 4x - 12 \Rightarrow 4x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{4}$
   • $\frac{1}{x-3} = -1 \Rightarrow 1 = -1(x-3) \Rightarrow 1 = -x + 3 \Rightarrow x = 2$

Ответ: $x_1 = \frac{13}{4}$, $x_2 = 2$

Задание 6

Уравнение: $(x+3)(x+1)(x-7) = (x+3)(x+1)(x-8)$

1. Перенесем все в одну сторону: $(x+3)(x+1)(x-7) - (x+3)(x+1)(x-8) = 0$
2. Вынесем общий множитель: $(x+3)(x+1)((x-7) - (x-8)) = 0$
3. Упростим: $(x+3)(x+1)(x-7-x+8) = 0$
4. $(x+3)(x+1)(1) = 0$
5. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
   • $x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$
   • $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$