Задание 4

Дана окружность. Через точку $M$, не лежащую на окружности, проведены две прямые так, что первая прямая касается окружности в точке $N$, а вторая прямая пересекает окружность в точках $Q$ и $P$. $MQ \cdot MP = 12$. Найдите $MN$.

Решение:
1) По свойству касательной и секущей к окружности:
- Если из точки вне окружности проведены касательная и секущая, то произведение расстояния от этой точки до точки касания равно произведению расстояний от этой точки до точек пересечения секущей с окружностью.
- То есть: $MN^2 = MQ \cdot MP$

2) По условию: $MQ \cdot MP = 12$

3) Следовательно:
$MN^2 = 12$
$MN = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

Задание 5

Упростите выражение $\frac{32^{2+5}}{4^{2+8} \cdot 2^{2+3}}$

Решение:
1) Преобразуем числитель:
- $32^{2+5} = 32^7 = (2^5)^7 = 2^{35}$

2) Преобразуем знаменатель:
- $4^{2+8} = 4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}$
- $2^{2+3} = 2^5$

3) Знаменатель полностью:
- $4^{2+8} \cdot 2^{2+3} = 2^{20} \cdot 2^5 = 2^{25}$

4) Итоговое выражение:
$\frac{2^{35}}{2^{25}} = 2^{35-25} = 2^{10}$

Ответ: $2^{10}$ или 1024

Задание 6

В треугольнике $MNL$ угол $L$ — прямой. Известно, что $LN = 3$, $LM = 4$. Найдите медиану $LK$ этого треугольника.

Решение:
1) По теореме о медиане прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:
- Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

2) Найдем гипотенузу $MN$ по теореме Пифагора:
- $MN^2 = LM^2 + LN^2$
- $MN^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
- $MN = 5$

3) Медиана $LK$ к гипотенузе:
- $LK = \frac{MN}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: 2.5

Задание 7

За круглый стол случайным образом садятся мистер Фокс, мистер Фокс и еще 4 хитрых лиса. Какова вероятность того, что мистер Фокс и мистер Фокс будут сидеть рядом?

Решение:
1) Всего за столом 6 лис (2 мистера Фокса и 4 других)

2) Найдем общее число возможных рассадок:
- Это размещение по кругу, где порядок важен
- Число размещений по кругу = $(n-1)!$
- $(6-1)! = 5! = 120$

3) Найдем благоприятные случаи:
- Рассмотрим двух мистеров Фокс как одно целое
- Тогда у нас 5 объектов (пара Фоксов и 4 лиса)
- Число размещений = $(5-1)! = 4! = 24$
- Но мистеры Фокс могут поменяться местами: $24 \cdot 2 = 48$

4) Вероятность:
- $P = \frac{48}{120} = \frac{2}{5} = 0.4$

Ответ: $\frac{2}{5}$ или 0.4 или 40%