Задание 1. Найдите 37-й член арифметической прогрессии $(a_n)$, первый член которой 75, а разность равна $-2$.

🔍 Решение:

Для арифметической прогрессии формула n-го члена имеет вид:
$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$, где:
- $a_1$ - первый член прогрессии
- $d$ - разность прогрессии
- $n$ - номер члена

Подставим данные из условия:
- $a_1 = 75$ (первый член)
- $d = -2$ (разность прогрессии)
- Нам нужно найти $a_{37}$ (37-й член)

$a_{37} = a_1 + (37 - 1) \cdot d = 75 + 36 \cdot (-2) = 75 - 72 = 3$

Ответ: 37-й член арифметической прогрессии равен 3.

Задание 2. Найдите сумму первых двадцати шести членов арифметической прогрессии $(c_n)$: 7; 11; ...

🔍 Решение:

Сначала определим разность прогрессии $d$:
$d = c_2 - c_1 = 11 - 7 = 4$

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используем формулу:
$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$, где:
- $a_1$ - первый член
- $a_n$ - n-й член
- $n$ - количество членов

Найдем 26-й член прогрессии:
$c_{26} = c_1 + (26 - 1) \cdot d = 7 + 25 \cdot 4 = 7 + 100 = 107$

Теперь найдем сумму первых 26 членов:
$S_{26} = \frac{26}{2} \cdot (c_1 + c_{26}) = 13 \cdot (7 + 107) = 13 \cdot 114 = 1482$

Ответ: Сумма первых двадцати шести членов арифметической прогрессии равна 1482.

Задание 3. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_1 = -71, d = 0,5$.

🔍 Решение:

Нам нужно найти такой номер $n$, при котором $a_n > 0$, то есть член прогрессии становится положительным.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$

Подставим известные значения:
$a_n = -71 + (n - 1) \cdot 0,5 = -71 + 0,5n - 0,5 = -71,5 + 0,5n$

Чтобы найти первый положительный член, нужно решить неравенство:
$a_n > 0$
$-71,5 + 0,5n > 0$
$0,5n > 71,5$
$n > 143$

Так как $n$ должно быть целым числом, и нам нужен первый положительный член, то $n = 144$.

Проверим:
$a_{144} = -71 + (144 - 1) \cdot 0,5 = -71 + 143 \cdot 0,5 = -71 + 71,5 = 0,5$

Ответ: Первый положительный член прогрессии - это $a_{144} = 0,5$.