Подробный разбор математических вычислений
На изображении представлены вычисления, связанные с алгебраическими выражениями. Давайте разберем их подробно, проверим правильность и объясним применяемые правила.
Первая часть вычислений (верхняя часть листа):
Видно выражение: $5^{(3+15)\div 6}$
Это степень с дробным показателем, где сначала нужно вычислить выражение в скобках.
Вторая часть (основная часть листа):
Здесь представлены различные вычисления, которые можно разделить на несколько групп:
1️⃣ Вычисления с логарифмами:
- $\log_3(27) = 3$ (так как $3^3 = 27$)
- $\log_5(125) = 3$ (так как $5^3 = 125$)
2️⃣ Вычисления с отрицательными числами:
- $(-1)^{34} = 1$ (так как при возведении -1 в четную степень получается 1)
- $(-1)^{33} = -1$ (так как при возведении -1 в нечетную степень получается -1)
3️⃣ Вычисления со степенями:
- $(5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6 = 15625$
- $(\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
4️⃣ Вычисления с дробями и отрицательными степенями:
- $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
- $(\frac{2}{7})^{-2} = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$
Правила, использованные в решениях:
- Правило логарифма: $\log_a(b) = c$ означает, что $a^c = b$
- Правило степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
- Правило отрицательной степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- Правило степени дроби: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$
- Правило четности степени для -1:
- $(-1)^{\text{четное число}} = 1$
- $(-1)^{\text{нечетное число}} = -1$
Проверка вычислений из изображения
Проверим некоторые вычисления, которые видны на изображении:
-
$\log_3(27) = 3$ ✓ Верно, так как $3^3 = 27$
-
$\log_5(125) = 3$ ✓ Верно, так как $5^3 = 125$
-
$(-1)^{34} = 1$ ✓ Верно, так как 34 - четное число, а $(-1)$ в четной степени равно 1
-
$(-1)^{33} = -1$ ✓ Верно, так как 33 - нечетное число, а $(-1)$ в нечетной степени равно -1
-
$(5^3)^2 = 5^6 = 15625$ ✓ Верно, так как $(5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6 = 15625$
-
$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125}$ ✓ Верно, так как $(\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
-
$2^{-3} = \frac{1}{8}$ ✓ Верно, так как $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
-
$(\frac{2}{7})^{-2} = \frac{49}{4}$ ✓ Верно, так как $(\frac{2}{7})^{-2} = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$
Дополнительные пояснения
-
Свойство логарифма: Логарифм числа по определенному основанию равен показателю степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить это число.
-
Свойство степеней: При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
-
Отрицательные степени: Отрицательная степень означает, что число нужно перевернуть (взять обратное) и возвести в положительную степень: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
-
Степень дроби: При возведении дроби в степень, и числитель, и знаменатель возводятся в эту степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Эти правила позволяют эффективно выполнять вычисления со степенями и логарифмами, что и демонстрируется в решениях на изображении.
