{
"subject": "Тригонометрия",
"grade": 10,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Нахождение косинуса по синусу в заданном интервале",
"description": "Решение тригонометрической задачи на нахождение значения косинуса через синус с учетом интервала",
"keywords": ["тригонометрия", "синус", "косинус", "тригонометрическая окружность", "интервал значений"]
}

Давайте решим эту задачу пошагово:

1) Нам дано:
* Sin t = 4/5
* π/2 < t < π

2) Вспомним основное тригонометрическое тождество:
* sin²t + cos²t = 1

3) Выразим cos²t:
* cos²t = 1 - sin²t
* cos²t = 1 - (4/5)²
* cos²t = 1 - 16/25
* cos²t = 9/25

4) Значит:
* cos t = ±√(9/25) = ±3/5

5) Определим знак косинуса:
* В интервале (π/2; π) косинус принимает отрицательные значения
* Следовательно, cos t = -3/5

Ответ: -3/5

✍️ Важно помнить, что на интервале (π/2; π):
* синус положительный
* косинус отрицательный
* это II четверть тригонометрической окружности

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Нахождение значения многочлена P(x)",
"description": "Решение задачи на упрощение многочлена и приведение подобных членов",
"keywords": ["многочлен", "алгебраические выражения", "приведение подобных членов", "одночлены", "алгебра"]
}

Давайте решим эту задачу на упрощение многочлена пошагово:

1) У нас есть многочлен P(x) = 2x²-x⁴+4x-2

2) Для правильной записи многочлена нужно:
* Расположить члены в порядке убывания степеней
* Привести подобные члены (если есть)

3) Расставим члены по убыванию степени:
* Наибольшая степень: x⁴
* Затем x²
* Затем x¹
* Свободный член

4) Запишем многочлен в стандартном виде:
* P(x) = -x⁴ + 2x² + 4x - 2

Ответ: -x⁴ + 2x² + 4x - 2

📝 Примечание:
- В стандартной записи многочлена коэффициенты при одночленах располагаются в порядке убывания степеней переменной
- Знак минус перед первым членом можно написать слитно с коэффициентом

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 11,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Нахождение наибольшего значения функции на отрезке",
"description": "Решение задачи на поиск наибольшего значения квадратичной функции на заданном отрезке с применением производной",
"keywords": ["экстремум функции", "производная", "квадратичная функция", "наибольшее значение", "критические точки"]
}

Решим задачу пошагово:

1) Дана функция y = x³+2x²-4x+4 на отрезке [2;0]

2) Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке нужно:
* Найти производную функции
* Найти критические точки (приравняв производную к нулю)
* Проверить значения функции в критических точках и на концах отрезка

3) Находим производную:
* y' = 3x² + 4x - 4
* y' = 3x² + 4x - 4 = 0

4) Решаем квадратное уравнение:
* 3x² + 4x - 4 = 0
* x = (-4 ± √(16+48))/6
* x = (-4 ± √64)/6
* x = (-4 ± 8)/6
* x₁ = 2/3
* x₂ = -2

5) Из полученных точек на отрезке [0;2] лежит только x₁ = 2/3

6) Проверяем значения функции в точках:
* При x = 0: y(0) = 4
* При x = 2: y(2) = 8 + 8 - 8 + 4 = 12
* При x = 2/3: y(2/3) = (2/3)³ + 2(2/3)² - 4(2/3) + 4 ≈ 3.63

7) Сравниваем полученные значения:
4; 12; 3.63

Ответ: 12 (наибольшее значение функции на отрезке [0;2] достигается в точке x = 2)

📝 Важно: при решении подобных задач необходимо проверять:
- Все критические точки внутри отрезка
- Значения функции на концах отрезка
- Выбрать наибольшее из всех найденных значений

{
"subject": "Английский язык",
"grade": 5,
"lang": "ru",
"url_subject": "english",
"title": "Употребление глагола live в Present Simple",
"description": "Выбор правильной формы глагола live для подлежащего в третьем лице множественного числа",
"keywords": ["английский язык", "present simple", "глагол live", "множественное число", "грамматика"]
}

Давайте разберем это задание:

1) В предложении "Bob and Kate ___ in a brick house in the country" нужно выбрать правильную форму глагола live.

2) Проанализируем подлежащее:
* "Bob and Kate" - два человека, соединенные союзом "and"
* Это множественное число (они)

3) Правила Present Simple:
* Для множественного числа используется базовая форма глагола
* Окончание -s добавляется только в 3-м лице единственного числа (he/she/it)

4) Из предложенных вариантов:
* live - базовая форма глагола
* lives - форма 3-го лица единственного числа
* are live - грамматически неверная конструкция

Правильный ответ: live

📝 Запомните:
- Когда подлежащее состоит из нескольких существительных, соединенных союзом "and", глагол используется в форме множественного числа
- В Present Simple к глаголу не добавляется окончание -s/-es при подлежащем во множественном числе

{
"subject": "Английский язык",
"grade": 5,
"lang": "ru",
"url_subject": "english",
"title": "Употребление вспомогательных глаголов в Present Simple",
"description": "Выбор правильной формы вспомогательного глагола для утвердительного предложения в Present Simple",
"keywords": ["английский язык", "present simple", "вспомогательный глагол", "утвердительное предложение", "грамматика"]
}

Давайте разберем это задание пошагово:

1) В предложении "Mike ___ busy. He ___ in the office" нужно выбрать правильную форму глагола.

2) Анализируем ситуацию:
* Подлежащее Mike - 3-е лицо единственного числа
* Предложение утвердительное
* Используется Present Simple

3) Правила Present Simple для глагола to be:
* В 3-м лице единственного числа (he/she/it) используется форма "is"
* Вспомогательный глагол do/does не используется с глаголом to be

4) Из предложенных вариантов:
* is/is - правильная форма для 3-го лица единственного числа
* do/is - неверно, так как do не используется с глаголом to be
* is/does - неверно по той же причине

Правильный ответ: is/is

📝 Запомните:
- Глагол to be (am/is/are) не требует вспомогательных глаголов do/does в Present Simple
- Для 3-го лица единственного числа (he/she/it) используется форма is

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Упрощение алгебраического выражения",
"description": "Приведение подобных членов в алгебраическом выражении",
"keywords": ["алгебра", "многочлен", "подобные члены", "упрощение выражений", "одночлены"]
}

Давайте упростим это выражение пошагово:

1) Имеем выражение: y = x² + 2x² - 4x + 4

2) Находим подобные члены:
* С x²: x² + 2x² = 3x²
* С x: -4x
* Свободный член: 4

3) Записываем выражение в стандартном виде (по убыванию степеней):
y = 3x² - 4x + 4

Ответ: 3x² - 4x + 4

📝 Важные моменты:
- При приведении подобных членов складываем их коэффициенты
- В стандартной записи члены располагаются по убыванию степеней
- Если коэффициент равен 1, его можно не писать (кроме свободного члена)
- Если коэффициент равен -1, пишем только знак минус