Решение системы уравнений
Рассмотрим систему уравнений:
$$\begin{cases} \frac{k^2+k+1}{x}+3y-6+k=0 \ x+y+k=0 \end{cases}$$
Задача состоит в том, чтобы найти значения переменных, при которых система имеет решение.
Шаг 1: Анализируем второе уравнение
Из уравнения $x+y+k=0$ выразим $y$:
$y = -x-k$
Шаг 2: Подставляем выражение для $y$ в первое уравнение
$\frac{k^2+k+1}{x}+3(-x-k)-6+k=0$
Раскроем скобки:
$\frac{k^2+k+1}{x}-3x-3k-6+k=0$
Приведем подобные слагаемые с $k$:
$\frac{k^2+k+1}{x}-3x-3k+k-6=0$
$\frac{k^2+k+1}{x}-3x-2k-6=0$
Шаг 3: Умножаем все уравнение на $x$ (при условии $x \neq 0$)
$(k^2+k+1)-3x^2-2kx-6x=0$
Приводим к стандартному виду:
$-3x^2-2kx-6x+(k^2+k+1)=0$
$-3x^2-(2k+6)x+(k^2+k+1)=0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Для того чтобы оно имело решение, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным.
Шаг 4: Находим дискриминант
$D = (2k+6)^2-4(-3)(k^2+k+1)$
$D = 4k^2+24k+36+12k^2+12k+12$
$D = 16k^2+36k+48$
Шаг 5: Определяем условие существования решения
Для существования решения необходимо $D \geq 0$
$16k^2+36k+48 \geq 0$
Решим это неравенство:
$4(4k^2+9k+12) \geq 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $4k^2+9k+12$:
$k_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{81-192}}{8} = \frac{-9 \pm \sqrt{-111}}{8}$
Поскольку дискриминант отрицательный ($81-192 = -111 < 0$), квадратный трехчлен $4k^2+9k+12$ не имеет действительных корней и всегда положителен при любых значениях $k$.
Таким образом, система уравнений имеет решение при любом значении $k$.
Дополнительные пояснения к решению
📝 Важные моменты в решении:
-
Преобразование системы уравнений:
- Мы начали с системы из двух уравнений с тремя переменными ($x$, $y$ и $k$)
- Из второго уравнения $x+y+k=0$ мы выразили $y = -x-k$, что позволило нам исключить одну переменную
-
Получение квадратного уравнения:
- После подстановки $y$ в первое уравнение и умножения на $x$, мы получили квадратное уравнение относительно $x$:
- $-3x^2-(2k+6)x+(k^2+k+1)=0$
-
Анализ дискриминанта:
- Для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2-4ac$
- В нашем случае: $a = -3$, $b = -(2k+6)$, $c = k^2+k+1$
- $D = (-(2k+6))^2-4(-3)(k^2+k+1) = (2k+6)^2+12(k^2+k+1)$
- После упрощения: $D = 16k^2+36k+48$
-
Исследование знака дискриминанта:
- Мы проверили, при каких значениях $k$ выражение $16k^2+36k+48$ неотрицательно
- Для этого мы попытались найти корни квадратного трехчлена $4k^2+9k+12$
- Дискриминант этого трехчлена отрицательный ($-111$), что означает отсутствие действительных корней
- Поскольку коэффициент при $k^2$ положительный (4), график этой параболы направлен ветвями вверх
- Следовательно, $4k^2+9k+12 > 0$ при любом $k$, и $D > 0$ при любом $k$
-
Вывод:
- Поскольку дискриминант всегда положителен, квадратное уравнение всегда имеет два действительных корня
- Это означает, что исходная система уравнений имеет решение при любом значении параметра $k$
🔍 Проверка решения:
- Мы убедились, что дискриминант $D = 16k^2+36k+48$ всегда положителен
- Это можно проверить, разложив выражение: $D = 16k^2+36k+48 = 4(4k^2+9k+12)$
- Поскольку $4 > 0$ и $4k^2+9k+12 > 0$ при любом $k$, произведение всегда положительно
- Следовательно, система уравнений имеет решение при любом значении $k$
