Задание
Определить все числовые промежутки, которые соответствуют решению неравенства, согласно следующей системе:

$\begin{cases} x > 1 \ -2 < -\frac{9}{2} \ x > -2 \ x < 5 \end{cases}$

Решение:

Давайте решим это пошагово:

1) Сначала упростим неравенство $-2 < -\frac{9}{2}$:
* Это неравенство не содержит переменной x
* $-2 > -\frac{9}{2}$ (так как это неверное неравенство)
* Данное неравенство можно исключить из системы, так как оно не влияет на решение

2) Теперь рассмотрим оставшиеся неравенства:
* $x > 1$
* $x > -2$
* $x < 5$

3) Из неравенств $x > 1$ и $x > -2$ выбираем более сильное:
* Так как 1 > -2, то выбираем $x > 1$

4) Объединяем полученные условия:
* $x > 1$ и $x < 5$

5) Записываем ответ в виде промежутка:
* $(1; 5)$ - все значения x, большие 1 и меньшие 5

Ответ: $(1; 5)$

Подробное решение системы неравенств

Давайте разберем решение более детально, опираясь на основные правила решения систем неравенств:

1) 📝 Анализ системы
У нас есть система из 4 неравенств:
* $x > 1$
* $-2 < -\frac{9}{2}$
* $x > -2$
* $x < 5$

2) 🔍 Проверка неравенства без переменной
* Рассмотрим $-2 < -\frac{9}{2}$
* $-2 = -2.0$
* $-\frac{9}{2} = -4.5$
* Получается $-2 > -4.5$ - это верное утверждение
* Так как это неравенство не содержит x, оно не влияет на решение

3) 📊 Анализ неравенств с переменной
* Имеем два неравенства с нижней границей: $x > 1$ и $x > -2$
* По правилу: при пересечении множеств выбираем более сильное условие
* $1 > -2$, поэтому из этих двух оставляем $x > 1$

4) 🎯 Формирование итогового решения
* Осталось два неравенства: $x > 1$ и $x < 5$
* Это означает, что x должен быть одновременно:
- больше 1
- меньше 5

5) ✅ Запись ответа
* В виде промежутка это записывается как $(1; 5)$
* Это означает все числа от 1 до 5, не включая сами числа 1 и 5

Проверка решения:
Любое число из промежутка $(1; 5)$, например 2 или 3, удовлетворяет всем условиям системы:
* 2 > 1 ✓
* 2 > -2 ✓
* 2 < 5 ✓

Ответ: $(1; 5)$

На графике выше:
- Синяя линия показывает промежуток $(1; 5)$ - решение системы
- Незакрашенные точки на концах показывают, что сами точки 1 и 5 не входят в решение
- Зеленая точка показывает значение -2, которое упоминается в одном из неравенств

Эта визуализация помогает лучше понять, какие числа входят в решение системы неравенств.

Детальное решение системы неравенств

🎯 Цель: найти все значения x, которые одновременно удовлетворяют всем неравенствам системы.

1️⃣ Разбор каждого неравенства:

$\begin{cases} x > 1 & \text{(первое неравенство)} \ -2 < -\frac{9}{2} & \text{(второе неравенство)} \ x > -2 & \text{(третье неравенство)} \ x < 5 & \text{(четвертое неравенство)} \end{cases}$

2️⃣ Анализ второго неравенства $(-2 < -\frac{9}{2})$:
* Преобразуем $-\frac{9}{2}$ в десятичную дробь: $-\frac{9}{2} = -4.5$
* Получаем: $-2 < -4.5$
* Это неверное утверждение, так как $-2 > -4.5$
* ❗ Важно: это неравенство не содержит x, поэтому оно не влияет на решение

3️⃣ Анализ оставшихся неравенств:

Имеем:
* $x > 1$ (условие 1)
* $x > -2$ (условие 3)
* $x < 5$ (условие 4)

4️⃣ Объединение условий:

• Для нижней границы сравниваем $1$ и $-2$:
• Так как $1 > -2$, выбираем более сильное условие $x > 1$
• Верхняя граница: $x < 5$

5️⃣ Формирование ответа:

• Объединяя условия: $1 < x < 5$
• Записываем в виде интервала: $(1; 5)$

6️⃣ Проверка решения:

Возьмем любое число из интервала, например, $x = 3$:
* $3 > 1$ ✓
* $3 > -2$ ✓
* $3 < 5$ ✓

🎓 Важные правила, которые мы использовали:
1. При решении системы неравенств все условия должны выполняться одновременно
2. Неравенства без переменной не влияют на решение
3. При наличии нескольких нижних (или верхних) границ выбираем наибольшую нижнюю (или наименьшую верхнюю) границу

Ответ: $(1; 5)$ - все числа x, которые больше 1 и меньше 5

На числовой прямой выше наглядно показано:

1. Синяя линия представляет интервал решения (1; 5)
2. Незакрашенные точки на концах показывают, что числа 1 и 5 не входят в решение
3. Зеленая точка (-2) показывает дополнительное условие, которое автоматически выполняется, так как все числа из решения больше -2

Такое представление помогает визуально понять, какие числа входят в решение системы неравенств.

Максимально подробное решение системы неравенств

📚 Исходная система:
$\begin{cases} x > 1 \ -2 < -\frac{9}{2} \ x > -2 \ x < 5 \end{cases}$

🔍 Пошаговый разбор:

1️⃣ Шаг 1: Анализ неравенства без переменной
* Рассмотрим $-2 < -\frac{9}{2}$
* Преобразуем $-\frac{9}{2}$ в десятичную форму: $-4.5$
* Получаем: $-2 < -4.5$
* Проверяем: $-2 = -2.0$ больше чем $-4.5$
* ⚠️ Это неравенство ложно, но так как оно не содержит x, мы его исключаем

2️⃣ Шаг 2: Группировка неравенств с x
Имеем три неравенства:
* $x > 1$ (первое условие)
* $x > -2$ (второе условие)
* $x < 5$ (третье условие)

3️⃣ Шаг 3: Работа с нижними границами
* У нас два неравенства с нижней границей: $x > 1$ и $x > -2$
* Сравниваем границы: $1 > -2$
* По правилу: выбираем большее значение
* ∴ Оставляем $x > 1$

4️⃣ Шаг 4: Формирование окончательного решения
Осталось:
* $x > 1$ (нижняя граница)
* $x < 5$ (верхняя граница)

5️⃣ Шаг 5: Запись ответа
* В виде двойного неравенства: $1 < x < 5$
* В виде интервала: $(1; 5)$

🔄 Проверка решения:
Возьмем несколько точек для проверки:

1. $x = 0$ (вне интервала):
   * $0 > 1$ ❌ - не подходит
   * Дальше не проверяем

2. $x = 2$ (внутри интервала):
   * $2 > 1$ ✅
   * $2 > -2$ ✅
   * $2 < 5$ ✅
   * Все условия выполнены

3. $x = 6$ (вне интервала):
   * $6 > 1$ ✅
   * $6 > -2$ ✅
   * $6 < 5$ ❌ - не подходит

📌 Важные правила:
1. При решении системы все условия должны выполняться одновременно
2. Неравенства без переменной не влияют на решение
3. Из нескольких нижних границ выбираем наибольшую
4. Из нескольких верхних границ выбираем наименьшую

Ответ: $(1; 5)$

В визуализации выше представлены:

1. Таблица проверки показывает, как различные значения x удовлетворяют или не удовлетворяют каждому условию системы.

2. Числовая прямая демонстрирует:
   * Синяя линия - интервал решения (1; 5)
   * Незакрашенные точки - границы интервала (не входят в решение)
   * Зеленая точка - положение точки -2

Эта визуализация помогает лучше понять, почему именно интервал (1; 5) является решением системы неравенств.