{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"url_subject": "math",
"lang": "ru",
"title": "Решение систем уравнений различными методами",
"description": "Подробное пошаговое решение систем уравнений с применением методов подстановки и замены переменных",
"keywords": ["системы уравнений", "метод подстановки", "алгебра", "квадратные уравнения", "решение уравнений"]
}

Давайте решим систему уравнений 1):
$\begin{cases} x = 2 + y \ y^2 - 2xy = 3 \end{cases}$

Решение:
1) Из первого уравнения имеем выражение для x:
x = 2 + y

2) Подставим это выражение во второе уравнение:
$y^2 - 2y(2 + y) = 3$

3) Раскроем скобки:
$y^2 - 4y - 2y^2 = 3$

4) Приведем подобные члены:
$-y^2 - 4y - 3 = 0$

5) Умножим все члены на -1:
$y^2 + 4y + 3 = 0$

6) Решим квадратное уравнение:
a = 1, b = 4, c = 3
$y = \frac{-4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}$
$y_1 = -3$ или $y_2 = -1$

7) Найдем соответствующие значения x:
При y₁ = -3: x = 2 + (-3) = -1
При y₂ = -1: x = 2 + (-1) = 1

Ответ: (-1; -3), (1; -1)

Проверка: подставьте полученные пары чисел в исходные уравнения, чтобы убедиться в правильности решения.

Хотите ли продолжить с решением остальных систем уравнений? 🤔

Решим систему уравнений 2):
$\begin{cases} x + y = 7 \ xy = 12 \end{cases}$

Решение:
1) В данном случае удобно использовать теорему Виета наоборот. У нас есть сумма и произведение двух чисел.
Пусть x и y являются корнями квадратного уравнения.
x + y = 7 (сумма)
xy = 12 (произведение)

2) Составим квадратное уравнение:
$t^2 - 7t + 12 = 0$, где t - это переменная

3) Решаем квадратное уравнение:
a = 1, b = -7, c = 12
$t = \frac{7 \pm \sqrt{49-48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}$
$t_1 = 4$, $t_2 = 3$

4) Следовательно:
x = 4, y = 3 или
x = 3, y = 4

Ответ: (4; 3), (3; 4)

Решим систему уравнений 3):
$\begin{cases} y + 4x = 6 \ x^2 + 3xy - y^2 = 3 \end{cases}$

Решение:
1) Из первого уравнения выразим y:
y = 6 - 4x

2) Подставим во второе уравнение:
$x^2 + 3x(6-4x) - (6-4x)^2 = 3$

3) Раскроем скобки:
$x^2 + 18x - 12x^2 - 36 + 48x + 16x^2 = 3$

4) Приведем подобные члены:
$5x^2 + 54x - 33 = 0$

5) Разделим все члены на 1:
$5x^2 + 54x - 33 = 0$

6) Решаем квадратное уравнение:
a = 5, b = 54, c = -33
$x = \frac{-54 \pm \sqrt{2916+660}}{10} = \frac{-54 \pm \sqrt{3576}}{10}$
$x_1 = 0.6$, $x_2 = -11.4$

7) Найдем соответствующие значения y:
При x₁ = 0.6: y = 6 - 4(0.6) = 3.6
При x₂ = -11.4: y = 6 - 4(-11.4) = 51.6

Ответ: (0.6; 3.6), (-11.4; 51.6)

Хотите продолжить с решением следующих систем? 📚