Решение уравнения с корнем и скобкой
{
"subject": "Алгебра",
"grade": 9,
"url_subject": "math",
"lang": "ru",
"title": "Решение уравнения с корнем и скобкой",
"description": "Пошаговое решение уравнения, содержащего произведение многочлена и квадратного корня",
"keywords": ["уравнение с корнем", "произведение выражений", "квадратный корень", "область определения", "алгебраические преобразования"]
}
Давайте решим это уравнение пошагово! 📝
1) Уравнение имеет вид: $(2x-7)\sqrt{x^2-9}=0$
2) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
* либо $2x-7=0$
* либо $\sqrt{x^2-9}=0$
3) Найдём ОДЗ (область допустимых значений):
* Так как в уравнении есть квадратный корень, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
* $x^2-9 \geq 0$
* $(x+3)(x-3) \geq 0$
* $x \leq -3$ или $x \geq 3$
4) Решаем первое уравнение: $2x-7=0$
* $2x=7$
* $x=\frac{7}{2}$
5) Решаем второе уравнение: $\sqrt{x^2-9}=0$
* $x^2-9=0$
* $x^2=9$
* $x=\pm3$
6) Проверяем полученные значения на ОДЗ:
* $x=\frac{7}{2}$ подходит, так как $\frac{7}{2} > 3$
* $x=3$ подходит
* $x=-3$ подходит
Ответ: $x=-3; 3; \frac{7}{2}$
Давайте проверим наше решение подстановкой каждого значения в исходное уравнение:
1) Проверка для $x=\frac{7}{2}$:
* $(2\cdot\frac{7}{2}-7)\sqrt{(\frac{7}{2})^2-9}$
* $(7-7)\sqrt{\frac{49}{4}-9}$
* $0\sqrt{\frac{49-36}{4}}$
* $0\sqrt{\frac{13}{4}}=0$ ✓
2) Проверка для $x=3$:
* $(2\cdot3-7)\sqrt{3^2-9}$
* $(6-7)\sqrt{9-9}$
* $(-1)\sqrt{0}=0$ ✓
3) Проверка для $x=-3$:
* $(2\cdot(-3)-7)\sqrt{(-3)^2-9}$
* $(-6-7)\sqrt{9-9}$
* $(-13)\sqrt{0}=0$ ✓
Все три значения действительно являются корнями уравнения! 🎯
Важные замечания:
1. При решении мы использовали метод разложения на множители
2. Обязательно проверили ОДЗ из-за наличия квадратного корня
3. Получили три различных корня
4. Проверка подтвердила правильность нашего решения
Это хороший пример того, как важно:
- Не забывать про ОДЗ при работе с корнями
- Использовать свойство произведения равного нулю
- Проверять полученные ответы подстановкой
Давайте визуализируем решение с помощью графика, который поможет лучше понять расположение корней и ОДЗ уравнения.
<!-- Разметка на осях -->
<text x="280" y="140">x</text>
<text x="160" y="20">y</text>
<!-- Точки корней -->
<circle cx="90" cy="150" r="3" fill="red"/> <!-- x=-3 -->
<circle cx="210" cy="150" r="3" fill="red"/> <!-- x=3 -->
<circle cx="235" cy="150" r="3" fill="red"/> <!-- x=7/2 -->
<!-- Подписи точек -->
<text x="80" y="170">-3</text>
<text x="205" y="170">3</text>
<text x="230" y="170">7/2</text>
<!-- ОДЗ -->
<path d="M 90 150 L 30 150" stroke="blue" stroke-width="2"/>
<path d="M 210 150 L 280 150" stroke="blue" stroke-width="2"/>
<!-- График функции 2x-7 -->
<path d="M 30 250 L 280 50" stroke="green" stroke-width="1" stroke-dasharray="4"/>
На графике изображено:
1. Синими линиями показана ОДЗ: $x \leq -3$ или $x \geq 3$
2. Красными точками отмечены корни уравнения: $x=-3$, $x=3$ и $x=\frac{7}{2}$
3. Пунктирной зеленой линией показан график линейной функции $y=2x-7$
Это изображение наглядно показывает:
- Где находятся все три корня уравнения
- Область допустимых значений (синие участки на оси X)
- Точку пересечения линейной функции с осью X ($x=\frac{7}{2}$)
- Точки, где квадратный корень обращается в ноль ($x=\pm3$)
График помогает понять, почему у уравнения именно три корня:
1. Два корня ($x=\pm3$) получаются из равенства нулю подкоренного выражения
2. Третий корень ($x=\frac{7}{2}$) получается из равенства нулю первого множителя $(2x-7)$
Все три точки лежат в ОДЗ, что подтверждает правильность нашего аналитического решения.
Давайте также рассмотрим поведение функции $f(x)=(2x-7)\sqrt{x^2-9}$ более детально:
1) Функция представляет собой произведение двух выражений:
* Линейная функция $g(x)=2x-7$
* Корень $h(x)=\sqrt{x^2-9}$
2) Анализ поведения функции:
* При $x < -3$:
- $2x-7$ отрицательно
- $\sqrt{x^2-9}$ положительно
- Произведение отрицательно
-
При $x = -3$:
- $\sqrt{x^2-9} = 0$
- Всё выражение равно 0
-
При $-3 < x < 3$:
- Подкоренное выражение отрицательно
- Точки не входят в ОДЗ
-
При $x = 3$:
- $\sqrt{x^2-9} = 0$
- Всё выражение равно 0
-
При $3 < x < \frac{7}{2}$:
- $2x-7$ отрицательно
- $\sqrt{x^2-9}$ положительно
- Произведение отрицательно
-
При $x = \frac{7}{2}$:
- $2x-7 = 0$
- Всё выражение равно 0
-
При $x > \frac{7}{2}$:
- $2x-7$ положительно
- $\sqrt{x^2-9}$ положительно
- Произведение положительно
Это объясняет, почему наше решение полное и других корней быть не может - мы рассмотрели все возможные случаи и нашли все точки, где функция обращается в ноль.
Важный вывод: при решении подобных уравнений всегда полезно:
1. Разбить область определения на части
2. Проанализировать знаки каждого множителя
3. Найти точки, где множители обращаются в ноль
4. Проверить все найденные точки на принадлежность ОДЗ
Такой подробный анализ помогает не только найти все корни, но и убедиться в правильности решения! 🎓
Давайте рассмотрим альтернативный метод проверки нашего решения через исследование каждой критической точки.
Для точки $x=\frac{7}{2}$ можно построить следующее рассуждение:
1) Подкоренное выражение определено:
$(\frac{7}{2})^2-9 = \frac{49}{4}-9 = \frac{49-36}{4} = \frac{13}{4} > 0$
2) Значение первого множителя:
$2\cdot\frac{7}{2}-7 = 7-7 = 0$
3) Следовательно, это действительно корень
Для точки $x=3$:
1) Подкоренное выражение:
$3^2-9 = 9-9 = 0$
2) Значение $\sqrt{0} = 0$
3) Первый множитель $(2\cdot3-7) = -1$, но это не важно, так как второй множитель равен нулю
Для точки $x=-3$:
1) Подкоренное выражение:
$(-3)^2-9 = 9-9 = 0$
2) Аналогично случаю $x=3$
Дополнительные методические рекомендации:
1. При решении подобных уравнений всегда начинайте с ОДЗ
2. Записывайте все преобразования подробно
3. Используйте метод интервалов для проверки знаков выражений
4. Проверяйте все найденные значения
Полезные приемы для запоминания:
- Уравнение вида $A\cdot B = 0$ всегда решается через систему $A=0$ или $B=0$
- При работе с корнями всегда проверяйте неотрицательность подкоренного выражения
- Записывайте ОДЗ в виде неравенств и решайте их методом интервалов
Типичные ошибки, которых следует избегать:
1. Забывать про ОДЗ
2. Не учитывать все возможные значения корней
3. Пропускать проверку найденных значений
4. Неправильно раскрывать квадратные скобки при возведении в квадрат
🔍 Такой подробный разбор помогает лучше понять структуру решения и избежать ошибок в похожих задачах!
Давайте разберём практические рекомендации по решению подобных уравнений! 📚
Общий алгоритм решения:
1️⃣ Предварительный анализ:
- Определить тип уравнения (в данном случае - произведение)
- Выделить содержащиеся операции (умножение, корень)
- Наметить план решения
2️⃣ Последовательность действий при решении:
1. Найти ОДЗ
2. Разложить на множители
3. Решить отдельные уравнения
4. Проверить корни
3️⃣ Признаки правильного решения:
- Все корни принадлежат ОДЗ ✓
- При подстановке корней уравнение обращается в верное равенство ✓
- Учтены все случаи обращения произведения в ноль ✓
Полезные формулы для запоминания:
1. $\sqrt{a^2} = |a|$
2. $\sqrt{x^2-a^2} = 0$ при $x = \pm a$
3. $x^2 \geq a^2 \Rightarrow x \leq -a$ или $x \geq a$
Самопроверка решения:
- Правильно ли найдена ОДЗ? ✓
- Все ли множители учтены? ✓
- Нет ли посторонних корней? ✓
- Не потеряны ли корни при преобразованиях? ✓
💡 Пример похожего уравнения для тренировки:
$(3x+1)\sqrt{x^2-4}=0$
Попробуйте решить его самостоятельно, используя разобранный алгоритм:
1. Найти ОДЗ: $x \leq -2$ или $x \geq 2$
2. Приравнять к нулю множители
3. Проверить полученные корни
Это поможет закрепить материал и лучше понять метод решения! 🎯
Рассмотрим важные теоретические моменты и связи с другими темами! 🎓
Связь с различными разделами математики:
-
Функциональный анализ:
* Функция $f(x)=(2x-7)\sqrt{x^2-9}$ является произведением:- Линейной функции
- Иррациональной функции
- График такой функции разрывен в точках $x=\pm3$
-
Геометрический смысл:
* $\sqrt{x^2-9}$ - это расстояние от точки $(x,0)$ до точек $(\pm3,0)$
* $2x-7$ - линейная функция, график которой пересекает ось X в точке $x=\frac{7}{2}$ -
Связь с квадратными уравнениями:
* Уравнение $x^2-9=0$ является квадратным
* Его корни $x=\pm3$ входят в решение исходного уравнения
Методологические рекомендации:
-
Перед решением полезно:
* Сделать эскиз графика
* Отметить особые точки
* Выделить области определения -
При проверке важно:
* Подставлять значения аккуратно
* Следить за знаками
* Учитывать область определения -
Типичные ошибки:
* Пропуск ОДЗ
* Неправильное раскрытие корня
* Потеря решений
* Появление посторонних корней
🔑 Ключевые моменты для запоминания:
1. Произведение равно нулю ⟺ хотя бы один множитель равен нулю
2. Корень существует только из неотрицательных чисел
3. При решении важен порядок действий:
- Сначала ОДЗ
- Затем решение уравнения
- В конце проверка
📝 Для закрепления материала рекомендуется:
1. Решить несколько похожих примеров
2. Построить графики функций
3. Проанализировать различные случаи
4. Составить собственные примеры
Это поможет лучше понять тему и успешно решать подобные задачи в будущем! 🌟
Давайте разберём дополнительные аспекты и применения данного типа уравнений! 📊
Практическое применение:
-
В физике:
* При расчёте движения тел
* В задачах на работу и мощность
* При решении задач по электричеству -
В экономике:
* При анализе функций спроса и предложения
* В задачах оптимизации производства
* При расчёте точек безубыточности
Методы самопроверки решения:
-
Графический метод:
* Построить график функции $y=(2x-7)\sqrt{x^2-9}$
* Найти точки пересечения с осью X
* Сравнить с полученными корнями -
Аналитический метод:
- Проверить знаки выражений слева и справа от корней
- Исследовать поведение функции на бесконечности
- Проверить непрерывность функции
- Метод от противного:
* Предположить существование других корней
* Доказать, что это невозможно
🎯 Обобщение на более сложные случаи:
-
Уравнения вида:
* $(ax+b)\sqrt{cx^2+dx+e}=0$
* $(ax^2+bx+c)\sqrt{dx+e}=0$
* $(ax+b)\sqrt[n]{x^2-k}=0$ -
Системы уравнений:
⎧ (2x-7)√(x²-9) = 0
⎨
⎩ ax + b = c
📚 Полезные источники для дальнейшего изучения:
1. Сборники задач по алгебре
2. Учебники по математическому анализу
3. Онлайн-ресурсы с интерактивными графиками
💡 Рекомендации по подготовке к контрольным:
1. Решить не менее 5-7 подобных примеров
2. Составить краткий справочник формул
3. Потренироваться в построении графиков
4. Научиться быстро находить ОДЗ
🔍 Как проверить понимание темы:
- Можете ли вы объяснить решение другому?
- Умеете ли составлять подобные задачи?
- Понимаете ли связь с другими темами?
- Можете ли решить задачу разными способами?
Помните: успех в математике приходит с практикой и пониманием! 🌟
Разберём особые случаи и углублённый анализ решения! 🔍
Исследование особых точек:
-
Точка $x=\frac{7}{2}$:
* Является корнем линейной части
* $\sqrt{(\frac{7}{2})^2-9}$ существует и конечно
* Точка регулярности функции -
Точки $x=\pm3$:
* Являются точками разрыва второго рода
* В этих точках $\sqrt{x^2-9}=0$
* Функция определена в этих точках
Классификация методов решения:
- Аналитический метод:
- Разложение на множители
- Решение каждого уравнения
- Проверка принадлежности ОДЗ
- Функциональный метод:
- Исследование свойств функции
- Поиск нулей функции
- Анализ точек разрыва
- Геометрический метод:
- Построение графика
- Анализ пересечений с осями
- Исследование ОДЗ
🎓 Обобщённый алгоритм исследования:
-
Предварительный анализ:
* Определить тип функции
* Найти область определения
* Выделить критические точки -
Исследование поведения:
* На бесконечности
* В окрестности особых точек
* В точках разрыва -
Проверка результатов:
* Графическая интерпретация
* Аналитическая проверка
* Исследование знаков
📈 Дополнительные наблюдения:
-
Свойства функции:
* Чётность/нечётность отсутствует
* Разрывна в точках $x=\pm3$
* Не ограничена на бесконечности -
Интервалы монотонности:
* $(-\infty,-3)$ - убывает
* $(3,\frac{7}{2})$ - убывает
* $(\frac{7}{2},\infty)$ - возрастает
🔧 Практические советы:
-
При решении:
* Делайте чёткие записи
* Проверяйте каждый шаг
* Следите за знаками -
При проверке:
* Используйте разные методы
* Анализируйте особые случаи
* Проверяйте граничные точки
🎯 Признаки полного понимания темы:
- Умение объяснить каждый шаг решения
- Способность найти альтернативные методы
- Понимание связей с другими темами
- Умение составлять подобные задачи
Помните: глубокое понимание приходит через разносторонний анализ! 📚
