{
"subject": "Математика",
"lang": "ru",
"grade": 7,
"url_subject": "math",
"title": "Решение квадратного уравнения: формула «√x = a/b»",
"description": "Пошаговое объяснение решения уравнения с квадратным корнем",
"keywords": ["квадратный корень", "уравнение", "математика", "алгебра", "решение уравнений", "формула"]
}

Давайте разберем решение этого уравнения пошагово:

1) Дано уравнение: √x = a/b

2) Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
(√x)² = (a/b)²

3) Упростим левую часть:
x = (a/b)²

4) Упростим правую часть:
x = a²/b²

Ответ: x = a²/b²

Важные замечания:
- При решении уравнений с корнем нужно всегда проверять полученные значения, подставляя их в исходное уравнение
- Обратите внимание, что a² означает a в квадрате, а b² - b в квадрате
- При делении дробей в квадрате числитель и знаменатель возводятся в квадрат отдельно

Это базовый пример работы с уравнениями, содержащими квадратный корень. Такие уравнения часто встречаются в алгебре и являются важной частью математического образования.

Для наглядного представления решения уравнения √x = a/b предлагаю следующую визуализацию:

Решение уравнения √x = a/b

<!-- Шаг 1 -->
<text x="20" y="70" font-size="14" fill="blue">1) √x = a/b</text>

<!-- Стрелка -->
<path d="M 100 80 L 100 100" stroke="gray" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow)"/>

<!-- Шаг 2 -->
<text x="20" y="120" font-size="14" fill="blue">2) (√x)² = (a/b)²</text>

<!-- Стрелка -->
<path d="M 100 130 L 100 150" stroke="gray" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow)"/>

<!-- Шаг 3 -->
<text x="20" y="170" font-size="14" fill="blue">3) x = (a/b)²</text>

<!-- Стрелка -->
<path d="M 100 180 L 100 200" stroke="gray" stroke-width="2" marker-end="url(#arrow)"/>

<!-- Шаг 4 и ответ -->
<text x="20" y="220" font-size="14" fill="green">4) x = a²/b²</text>

<!-- Определение маркера стрелки -->
<defs>
    <marker id="arrow" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5"
        markerWidth="6" markerHeight="6" orient="auto">
        <path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="gray"/>
    </marker>
</defs>

<!-- Пояснение -->
<rect x="20" y="240" width="260" height="50" fill="lightyellow" stroke="gray"/>
<text x="30" y="260" font-size="12" fill="black">Важно: при возведении в квадрат</text>
<text x="30" y="280" font-size="12" fill="black">дроби a/b каждая часть возводится</text>

Давайте разберем решение более подробно:

1) В исходном уравнении √x = a/b мы имеем квадратный корень из неизвестного x, который равен дроби a/b.

2) Для решения нам нужно избавиться от корня. Самый простой способ — возвести обе части уравнения в квадрат. При этом:
- Слева: (√x)² = x (корень и степень взаимно уничтожаются)
- Справа: (a/b)² = a²/b²

3) После возведения в квадрат получаем:
x = a²/b²

4) Это и есть наш ответ, но нужно помнить:
- При возведении дроби в квадрат числитель и знаменатель возводятся в квадрат по отдельности
- Всегда нужно проверять полученное решение подстановкой в исходное уравнение
- Так как в уравнении присутствует корень, нужно учитывать область определения: x ≥ 0

Такой подход к решению уравнений с корнями является базовым и часто используется в более сложных задачах.

{
"subject": "Математика",
"lang": "ru",
"grade": 9,
"url_subject": "math",
"title": "Нахождение абсциссы вершины параболы",
"description": "Пошаговое объяснение нахождения абсциссы вершины параболы по формуле x₀ = -b/2a",
"keywords": ["парабола", "вершина параболы", "абсцисса", "квадратная функция", "формула", "координаты"]
}

Давайте разберем, как найти абсциссу вершины параболы:

1) Формула для нахождения абсциссы (x-координаты) вершины параболы:
x₀ = -b/(2a)

2) Эта формула применяется для квадратичной функции вида:
y = ax² + bx + c

3) Где:
- a ≠ 0 (коэффициент при x²)
- b (коэффициент при x)
- x₀ - это x-координата вершины параболы

<!-- Парабола -->
<path d="M 50 200 Q 150 50 250 200" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/>

<!-- Вершина параболы -->
<circle cx="150" cy="50" r="4" fill="red"/>

<!-- Обозначения -->
<text x="160" y="45" font-size="12">Вершина (x₀,y₀)</text>
<text x="250" y="165" font-size="12">x</text>
<text x="160" y="250" font-size="12">y</text>

<!-- Формула -->
<text x="70" y="280" font-size="14" fill="blue">x₀ = -b/(2a)</text>

Важные замечания:
1. Эта формула работает для любой параболы вида y = ax² + bx + c
2. Знак минус перед b в формуле обязателен
3. Коэффициент a в знаменателе должен быть умножен на 2
4. Если a > 0, парабола направлена ветвями вверх
5. Если a < 0, парабола направлена ветвями вниз

Этот метод является универсальным способом нахождения абсциссы вершины параболы и широко используется при решении задач, связанных с квадратичной функцией.

{
"subject": "Математика",
"lang": "ru",
"grade": 9,
"url_subject": "math",
"title": "Нахождение ординаты вершины параболы",
"description": "Пошаговое объяснение нахождения ординаты вершины параболы по формуле y₀ = (4ac-b²)/(4a)",
"keywords": ["парабола", "вершина параболы", "ордината", "квадратичная функция", "координаты вершины", "формула"]
}

Разберем нахождение ординаты вершины параболы:

1) Дана формула для нахождения ординаты (y-координаты) вершины параболы:
y₀ = (4ac - b²)/(4a)

2) Эта формула применяется для квадратичной функции вида:
y = ax² + bx + c, где:
- a ≠ 0 (коэффициент при x²)
- b (коэффициент при x)
- c (свободный член)

<!-- Парабола -->
<path d="M 50 200 Q 150 50 250 200" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/>

<!-- Вершина параболы -->
<circle cx="150" cy="50" r="4" fill="red"/>

<!-- Пунктирные линии к осям -->
<line x1="150" y1="50" x2="150" y2="150" stroke="gray" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,5"/>
<line x1="150" y1="50" x2="50" y2="50" stroke="gray" stroke-width="1" stroke-dasharray="5,5"/>

<!-- Обозначения -->
<text x="160" y="45" font-size="12">Вершина (x₀,y₀)</text>
<text x="250" y="165" font-size="12">x</text>
<text x="140" y="270" font-size="12">y</text>

<!-- Формула -->
<text x="40" y="280" font-size="12" fill="blue">y₀ = (4ac-b²)/(4a)</text>

Порядок нахождения координат вершины параболы:

1) Сначала находим x₀ = -b/(2a)
2) Затем находим y₀ = (4ac - b²)/(4a)
3) Координаты вершины параболы: (x₀; y₀)

Важные замечания:
1. В формуле для y₀ необходимо внимательно расставить все знаки
2. Числитель состоит из двух частей: 4ac и -b²
3. В знаменателе всегда 4a
4. Координаты вершины важны для:
- Определения наибольшего/наименьшего значения функции
- Построения графика параболы
- Решения задач на оптимизацию

Эти формулы позволяют точно определить положение вершины параболы на координатной плоскости.

Давайте разберем нахождение абсциссы вершины параболы более детально:

1) Для начала вспомним, что такое парабола:
- Это график квадратичной функции y = ax² + bx + c
- У параболы есть одна особая точка - вершина
- Вершина - это самая верхняя или нижняя точка параболы

2) Формула x₀ = -b/(2a) появилась не случайно:
- Она выводится из условия экстремума функции
- В вершине производная функции равна нулю
- Это точка, где парабола меняет направление

3) Разберем пример:
Допустим, у нас функция y = 2x² + 4x - 1
Тогда:
- a = 2 (коэффициент при x²)
- b = 4 (коэффициент при x)
Подставляем в формулу:
x₀ = -4/(2×2) = -4/4 = -1

<!-- Парабола -->
<path d="M 50 200 Q 150 50 250 200" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/>

<!-- Вершина параболы -->
<circle cx="150" cy="50" r="4" fill="red"/>

<!-- Пояснения -->
<text x="160" y="45" font-size="12">Вершина</text>
<text x="40" y="70" font-size="12">Шаги:</text>
<text x="40" y="90" font-size="12">1. Находим a и b</text>
<text x="40" y="110" font-size="12">2. Подставляем в формулу</text>
<text x="40" y="130" font-size="12">3. x₀ = -b/(2a)</text>

<!-- Оси -->
<text x="250" y="165" font-size="12">x</text>
<text x="140" y="270" font-size="12">y</text>

Дополнительные пояснения:
1. Почему делим на 2a?
- Множитель 2 появляется при дифференцировании x²
- Коэффициент a нужен для учета "растянутости" параболы

2. Почему ставим минус перед b?
   - Это связано с тем, что мы ищем точку минимума или максимума
   - Знак минус получается при решении уравнения y' = 0

3. Практическое применение:
   - Если a > 0: x₀ показывает точку минимума функции
   - Если a < 0: x₀ показывает точку максимума функции

4. Проверка правильности:
   - Если подставить найденное x₀ в исходную функцию, получим y₀
   - Точка (x₀; y₀) должна быть самой нижней или верхней точкой параболы

Теперь формула должна стать более понятной, так как мы рассмотрели её происхождение и практическое применение.

Давайте решим задачу с подстановкой в формулу.

1) Нам нужно найти x₀ = -b/(2a)

2) Формула уже дана в самом простом виде, нам просто нужно указать, что:
x₀ = -b/(2a)

Это и есть абсцисса вершины параболы.

Важное замечание по записи ответа:
- Ответ дан в общем виде
- Здесь b - это коэффициент при x в квадратном уравнении
- a - коэффициент при x²
- Дальнейшие вычисления возможны только при конкретных значениях a и b

<!-- Парабола -->
<path d="M 50 200 Q 150 50 250 200" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/>

<!-- Вершина параболы -->
<circle cx="150" cy="100" r="4" fill="red"/>

<!-- Формула и пояснения -->
<text x="80" y="40" font-size="16" font-weight="bold">x₀ = -b/(2a)</text>

<!-- Оси -->
<text x="260" y="150" font-size="12">x</text>
<text x="140" y="270" font-size="12">y</text>

<!-- Пояснения -->
<text x="40" y="220" font-size="12">Где:</text>
<text x="60" y="240" font-size="12">a ≠ 0 - коэффициент при x²</text>
<text x="60" y="260" font-size="12">b - коэффициент при x</text>

Проверка решения:
1. Формула верна для любой параболы вида y = ax² + bx + c
2. При конкретных значениях a и b мы сможем найти точное числовое значение x₀
3. Обязательное условие: a ≠ 0, так как это коэффициент в знаменателе

Таким образом, ответ: x₀ = -b/(2a)

{
"subject": "Математика",
"lang": "ru",
"grade": 9,
"url_subject": "math",
"title": "Определение направления ветвей параболы",
"description": "Объяснение как определить направление ветвей параболы по коэффициенту а",
"keywords": ["парабола", "ветви параболы", "квадратичная функция", "коэффициент a", "направление параболы"]
}

Определение направления ветвей параболы очень простое:

1) Направление ветвей зависит только от коэффициента a в уравнении y = ax² + bx + c

2) Правило определения:
- Если a > 0 (положительный), ветви направлены ВВЕРХ ⋀
- Если a < 0 (отрицательный), ветви направлены ВНИЗ ⋁

<!-- Первая парабола (a > 0) -->
<path d="M 30 125 Q 80 25 130 125" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/>
<text x="50" y="150" font-size="14">a > 0</text>

<!-- Координатная плоскость для второй параболы -->
<line x1="170" y1="75" x2="270" y2="75" stroke="black" stroke-width="1"/>
<line x1="220" y1="25" x2="220" y2="125" stroke="black" stroke-width="1"/>

<!-- Вторая парабола (a < 0) -->
<path d="M 170 25 Q 220 125 270 25" fill="none" stroke="red" stroke-width="2"/>
<text x="190" y="150" font-size="14">a < 0</text>

<!-- Пояснения -->
<text x="40" y="180" font-size="12">Ветви вверх</text>
<text x="180" y="180" font-size="12">Ветви вниз</text>

<!-- Стрелки направления -->
<text x="70" y="200" font-size="20">⋀</text>
<text x="210" y="200" font-size="20">⋁</text>

Важные замечания:
1. Направление ветвей НЕ зависит от коэффициентов b и c
2. Коэффициент a никогда не равен нулю (a ≠ 0)
3. Это свойство параболы помогает:
- Быстро представить общий вид графика
- Определить, где находится минимум или максимум функции
- Понять поведение функции на бесконечности

Запомнить это правило легко: если a положительное - парабола "улыбается" (⋀), если отрицательное - "грустит" (⋁).