Задача 1: Решение системы способом подстановки

$\begin{cases} 2x + y = 19 \ x - 3y = -1 \end{cases}$

Решение:

1. Выразим $y$ из первого уравнения:
   $y = 19 - 2x$

2. Подставим это выражение во второе уравнение:
   $x - 3(19 - 2x) = -1$

3. Упростим уравнение:
   $x - 57 + 6x = -1$
   $7x = 56$
   $x = 8$

4. Найдем $y$:
   $y = 19 - 2(8) = 19 - 16 = 3$

Ответ: $x = 8, y = 3$

Задача 2: Решение системы способом сложения

$\begin{cases} 18x + 26y = 62 \ 18x - 5y = 31 \end{cases}$

Решение:

1. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $x$:
   $(18x + 26y) - (18x - 5y) = 62 - 31$

2. Упростим:
   $31y = 31$
   $y = 1$

3. Подставим $y$ во второе уравнение:
   $18x - 5(1) = 31$
   $18x - 5 = 31$
   $18x = 36$
   $x = 2$

Ответ: $x = 2, y = 1$

Задача 3: Составление уравнения прямой

Необходимо составить уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через точки $A(2;-4)$ и $B(1;-7)$

Решение:

1. Найдем угловой коэффициент $k$:
   $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-7 - (-4)}{1 - 2} = \frac{-3}{-1} = 3$

2. Подставим координаты любой точки (например, $A(2;-4)$) в уравнение $y = kx + b$:
   $-4 = 3(2) + b$
   $-4 = 6 + b$
   $b = -10$

3. Уравнение прямой:
   $y = 3x - 10$

Ответ: $y = 3x - 10$

Задача 4: Решение задачи с ценами тетрадей и ручек

Условие: За 8 тетрадей и 5 ручек заплатили 171 руб. Сколько стоит одна тетрадь и одна ручка?

Решение:

1. Обозначим переменные:
   $x$ - цена тетради
   $y$ - цена ручки

2. Составим систему уравнений:
   $8x + 5y = 171$
   $3x > y + 21$

3. Из второго неравенства: $y = 3x - 21$

4. Подставим во первое уравнение:
   $8x + 5(3x - 21) = 171$
   $8x + 15x - 105 = 171$
   $23x = 276$
   $x = 12$ (цена тетради)

5. Найдем цену ручки:
   $y = 3(12) - 21 = 36 - 21 = 15$

Ответ: Тетрадь стоит 12 руб., ручка - 15 руб.

Задача 5: Решение системы уравнений удобным способом

$\begin{cases} 3 - (x - 2y) - 4y = 18 \ 2x - 3y + 3 = 2(3x - y) \end{cases}$

Решение:

1. Упростим первое уравнение:
   $3 - x + 2y - 4y = 18$
   $3 - x - 2y = 18$
   $-x - 2y = 15$
   $x + 2y = -15$

2. Упростим второе уравнение:
   $2x - 3y + 3 = 6x - 2y$
   $2x - 3y + 3 = 6x - 2y$
   $-4x - y + 3 = 0$
   $y = -4x + 3$

3. Подставим второе уравнение в первое:
   $x + 2(-4x + 3) = -15$
   $x - 8x + 6 = -15$
   $-7x = -21$
   $x = 3$

4. Найдем $y$:
   $y = -4(3) + 3 = -12 + 3 = -9$

Ответ: $x = 3, y = -9$

Задание 1

Решить уравнение: $\frac{4x-3}{x-2} - \frac{3x-2}{x-1} = 1$

Решение:

Шаг 1: Приведем уравнение к общему знаменателю.
Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{4x-3}{x-2}$ и $\frac{3x-2}{x-1}$. Это будет $(x-2)(x-1)$.

Шаг 2: Преобразуем первую дробь.
$\frac{4x-3}{x-2} = \frac{(4x-3)(x-1)}{(x-2)(x-1)} = \frac{(4x-3)(x-1)}{(x-2)(x-1)}$

Шаг 3: Преобразуем вторую дробь.
$\frac{3x-2}{x-1} = \frac{(3x-2)(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{(3x-2)(x-2)}{(x-1)(x-2)}$

Шаг 4: Подставим преобразованные дроби в исходное уравнение.
$\frac{(4x-3)(x-1)}{(x-2)(x-1)} - \frac{(3x-2)(x-2)}{(x-1)(x-2)} = 1$

Шаг 5: Упростим числители.
$(4x-3)(x-1) = 4x^2-4x-3x+3 = 4x^2-7x+3$
$(3x-2)(x-2) = 3x^2-6x-2x+4 = 3x^2-8x+4$

Шаг 6: Подставим упрощенные выражения в уравнение.
$\frac{4x^2-7x+3}{(x-2)(x-1)} - \frac{3x^2-8x+4}{(x-1)(x-2)} = 1$

Шаг 7: Приведем левую часть к одной дроби.
$\frac{4x^2-7x+3-(3x^2-8x+4)}{(x-2)(x-1)} = 1$
$\frac{4x^2-7x+3-3x^2+8x-4}{(x-2)(x-1)} = 1$
$\frac{x^2+x-1}{(x-2)(x-1)} = 1$

Шаг 8: Умножим обе части уравнения на $(x-2)(x-1)$.
$x^2+x-1 = (x-2)(x-1)$
$x^2+x-1 = x^2-3x+2$

Шаг 9: Приведем подобные члены.
$x^2+x-1 = x^2-3x+2$
$x^2+x-1-x^2+3x-2 = 0$
$4x-3 = 0$
$4x = 3$
$x = \frac{3}{4}$

Шаг 10: Проверим, не является ли найденное значение посторонним корнем.
При $x = \frac{3}{4}$ знаменатели исходных дробей равны:
$x-2 = \frac{3}{4}-2 = \frac{3-8}{4} = -\frac{5}{4} \neq 0$
$x-1 = \frac{3}{4}-1 = \frac{3-4}{4} = -\frac{1}{4} \neq 0$

Знаменатели не обращаются в ноль, значит $x = \frac{3}{4}$ является корнем уравнения.

Ответ: $x = \frac{3}{4}$

Задание 2

Решить уравнение: $\frac{4x-3}{x-2} - \frac{3x-2}{x-1} = 1$

Это то же самое уравнение, что и в первом задании. Решение аналогично.

Ответ: $x = \frac{3}{4}$