Язык задания: Russian.

Задание 2

Решить уравнение:

$\frac{x+1}{2-2x^2} - \frac{2x-1}{x^2-1} + \frac{6}{x+1} + \frac{1}{2-2x} = 0$

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:

• $2 - 2x^2 = 2(1 - x^2) = 2(1 - x)(1 + x) = -2(x-1)(x+1)$
• $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
• $2 - 2x = 2(1 - x) = -2(x-1)$

2. Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{x+1}{-2(x-1)(x+1)} - \frac{2x-1}{(x-1)(x+1)} + \frac{6}{x+1} + \frac{1}{-2(x-1)} = 0$

3. Определим ОДЗ (область допустимых значений):

Знаменатели не должны быть равны нулю:

• $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
• $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1, x \neq -1$

4. Приведем все дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель: $-2(x-1)(x+1)$

$\frac{x+1}{-2(x-1)(x+1)} - \frac{(2x-1)(-2)}{-2(x-1)(x+1)} + \frac{6(-2)(x-1)}{-2(x-1)(x+1)} + \frac{1(x+1)}{-2(x-1)(x+1)} = 0$

5. Упростим числители:

$\frac{x+1}{-2(x-1)(x+1)} + \frac{4x-2}{-2(x-1)(x+1)} + \frac{-12x+12}{-2(x-1)(x+1)} + \frac{x+1}{-2(x-1)(x+1)} = 0$

6. Сложим числители:

$\frac{(x+1) + (4x-2) + (-12x+12) + (x+1)}{-2(x-1)(x+1)} = 0$

$\frac{x + 4x - 12x + x + 1 - 2 + 12 + 1}{-2(x-1)(x+1)} = 0$

$\frac{-6x + 12}{-2(x-1)(x+1)} = 0$

7. Приравняем числитель к нулю:

$-6x + 12 = 0$

$-6x = -12$

$x = 2$

8. Проверим, входит ли полученное значение в ОДЗ:

$x = 2$ удовлетворяет условиям $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Ответ: $x = 2$