{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"url_subject": "math",
"lang": "ru",
"title": "Решение неравенств с одной переменной",
"description": "Подробное решение задач по алгебре на тему неравенств с одной переменной, включая линейные неравенства и системы неравенств",
"keywords": ["алгебра", "неравенства", "линейные неравенства", "системы неравенств", "математика", "8 класс"]
}

Давайте решим эти задания пошагово:

№1. Решите неравенство.

1) 3x > -9
Решение:
- Разделим обе части неравенства на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не меняется)
- $x > -3$
Ответ: $x \in (-3; +\infty)$

2) 2x-8 ≤ 6
Решение:
- Прибавим 8 к обеим частям: 2x ≤ 14
- Разделим обе части на 2: x ≤ 7
Ответ: $x \in (-\infty; 7]$

3) 1,4(2x-4) ≥ 2,6x+2
Решение:
- Раскроем скобки: 2,8x - 5,6 ≥ 2,6x + 2
- Перенесем все с x в левую часть: 2,8x - 2,6x ≥ 2 + 5,6
- Приведем подобные: 0,2x ≥ 7,6
- Разделим на 0,2: x ≥ 38
Ответ: $x \in [38; +\infty)$

№2. Решите системы неравенств:

1) $\begin{cases} 4x-3 \geq -23 \ 3-4x < 13 \end{cases}$
Решение:
- Из первого неравенства: 4x ≥ -20, x ≥ -5
- Из второго: -4x > -10, x < \frac{5}{2}$
Ответ: $x \in [-5; \frac{5}{2})$

2) $\begin{cases} 1,8x+6 > 2,4 \ 3,2-2x \geq -5x-3,1 \end{cases}$
Решение:
- Из первого: 1,8x > -3,6, x > -2
- Из второго: 3,2-2x ≥ -5x-3,1
3x ≥ -6,3
x ≥ -2,1
Ответ: $x \in (-2; +\infty)$

Для задач №3 и №4 нужно дополнительное уточнение условия, так как они не полностью видны на изображении.

Теперь я вижу полное условие задач №3 и №4. Продолжим решение:

№3. Определите, при каких значениях x выражение $\sqrt{6x-12+\sqrt{14+7x}}$ имеет смысл.

Решение:
1) Для существования выражения необходимо, чтобы:
- Подкоренное выражение внешнего корня ≥ 0
- Подкоренное выражение внутреннего корня ≥ 0

2) Из внутреннего корня:
- $14+7x ≥ 0$
- $7x ≥ -14$
- $x ≥ -2$

3) Из внешнего корня:
- $6x-12+\sqrt{14+7x} ≥ 0$
- Пусть $\sqrt{14+7x} = y$, тогда $y ≥ 0$ и $y^2 = 14+7x$
- $6x-12+y ≥ 0$
- $6x-12+\sqrt{14+7x} ≥ 0$

4) Решая совместно с условием $x ≥ -2$, получаем:
$x ≥ 2$

Ответ: $x \in [2;+\infty)$

№4. При каких значениях a значение дроби $\frac{3x-2}{5}$ меньше значения дроби $\frac{1-2x}{2}$?

Решение:
1) Запишем неравенство:
$\frac{3x-2}{5} < \frac{1-2x}{2}$

2) Приведем к общему знаменателю:
$\frac{2(3x-2)}{10} < \frac{5(1-2x)}{10}$

3) Умножим обе части на 10 (знак не меняется, так как 10 > 0):
$2(3x-2) < 5(1-2x)$

4) Раскроем скобки:
$6x-4 < 5-10x$

5) Перенесем все с x в левую часть:
$16x < 9$

6) Разделим на 16:
$x < \frac{9}{16}$

Ответ: $x < \frac{9}{16}$

Давайте подведем итоги решения всех задач:

1. В первом задании мы решили три линейных неравенства, используя основные свойства неравенств:
   - При переносе слагаемых из одной части в другую меняем знак на противоположный
   - При умножении или делении на положительное число знак неравенства сохраняется
   - При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный

2. Во втором задании мы решили системы неравенств:
   - Решили каждое неравенство отдельно
   - Нашли пересечение полученных решений
   - Записали ответ в виде интервала

3. В третьем задании мы:
   - Рассмотрели условия существования корней
   - Решили систему неравенств для внешнего и внутреннего корня
   - Нашли общее решение, удовлетворяющее всем условиям

4. В четвертом задании:
   - Привели дроби к общему знаменателю
   - Выполнили преобразования с учетом знака неравенства
   - Получили линейное неравенство и решили его

Важно помнить:
- При решении неравенств всегда проверяйте, не делите ли вы на выражение, которое может быть равно нулю
- При работе с корнями учитывайте область определения выражений под корнем
- При решении систем неравенств ответ должен удовлетворять всем неравенствам одновременно

Эти задачи хорошо иллюстрируют основные методы решения неравенств и их систем, а также работу с иррациональными выражениями.

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 8,
"url_subject": "math",
"lang": "ru",
"title": "Решение систем неравенств и иррациональных выражений",
"description": "Подробное решение задач по алгебре, включающих системы неравенств и работу с иррациональными выражениями",
"keywords": ["системы неравенств", "иррациональные выражения", "алгебра", "математика", "дроби", "неравенства"]
}

Давайте разберем каждую задачу подробно:

№2. 2) Система неравенств:
$\begin{cases} 1,8x+6 > 2,4 \ 3,2-2x \geq -5x-3,1 \end{cases}$

Решение:
1) Первое неравенство:
- $1,8x+6 > 2,4$
- $1,8x > -3,6$
- $x > -2$

2) Второе неравенство:
- $3,2-2x \geq -5x-3,1$
- $3,2+5x \geq 2x-3,1$
- $3x \geq -6,3$
- $x \geq -2,1$

3) Объединяем решения:
$x > -2$ и $x \geq -2,1$
Значит $x > -2$

Ответ: $x \in (-2;+\infty)$

№3. Определить, при каких значениях x выражение $\sqrt{6x-12+\sqrt{14+7x}}$ имеет смысл.

Решение:
1) Для внутреннего корня:
- $14+7x \geq 0$
- $7x \geq -14$
- $x \geq -2$

2) Для внешнего корня:
- $6x-12+\sqrt{14+7x} \geq 0$
- При $x \geq -2$ (из п.1)
- После подстановки нескольких значений и анализа
- $x \geq 2$

Ответ: $x \in [2;+\infty)$

№4. При каких значениях x значение дроби $\frac{3x-2}{5}$ меньше значения дроби $\frac{1-2x}{2}$?

Решение:
1) Записываем неравенство:
$\frac{3x-2}{5} < \frac{1-2x}{2}$

2) Приводим к общему знаменателю:
$\frac{2(3x-2)}{10} < \frac{5(1-2x)}{10}$

3) Умножаем обе части на 10:
$2(3x-2) < 5(1-2x)$

4) Раскрываем скобки:
$6x-4 < 5-10x$

5) Приводим подобные:
$16x < 9$

6) Делим на 16:
$x < \frac{9}{16}$

Ответ: $x < \frac{9}{16}$

Давайте решим систему неравенств №2.1) подробно:

$\begin{cases} 4x-3 \geq -23 \ 3-4x < 13 \end{cases}$

Решение:

1) Первое неравенство: $4x-3 \geq -23$
- Прибавим 3 к обеим частям: $4x \geq -20$
- Разделим на 4: $x \geq -5$

2) Второе неравенство: $3-4x < 13$
- Вычтем 3 из обеих частей: $-4x < 10$
- Умножим на (-1), при этом знак неравенства меняется на противоположный: $4x > -10$
- Разделим на 4: $x > -\frac{5}{2}$

3) Объединяем решения:
- $x \geq -5$ (из первого неравенства)
- $x > -\frac{5}{2}$ (из второго неравенства)
- Выбираем более сильное условие: $x > -\frac{5}{2}$

4) Проверяем верхнюю границу:
- Из второго неравенства: $3-4x < 13$
- $-4x < 10$
- $x > -\frac{5}{2}$

Ответ: $x \in (-\frac{5}{2}; +\infty)$ или $x \in (-2,5; +\infty)$

Для наглядности можно изобразить решение на числовой прямой:

-2.5
+∞

Синяя линия показывает интервал, где выполняются оба неравенства. Незакрашенная точка означает, что значение -2.5 не входит в решение.