{
"subject": "Математика",
"grade": 8,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление арифметических выражений с корнями",
"description": "Решение примеров с квадратными корнями и дробями. Пошаговое объяснение вычислений под корнем.",
"keywords": ["квадратный корень", "дроби под корнем", "арифметические выражения", "математика 8 класс", "вычисления с корнями"]
}

Давайте решим эти примеры с квадратными корнями пошагово:

1️⃣ $\sqrt{\frac{1}{121}}$

Решение:
* Это простой пример, где под корнем дробь
* $\sqrt{\frac{1}{121}} = \frac{1}{\sqrt{121}}$ = $\frac{1}{11}$

2️⃣ $\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{25}{9}}$

Решение:
* Сначала умножим дроби под корнем:
* $\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{25}{36}}$
* $\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}$

3️⃣ $\sqrt{5\frac{4}{9}}$

Решение:
* Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
* $5\frac{4}{9} = \frac{49}{9}$
* $\sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$

В каждом случае мы использовали следующие правила:
- Корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя
- При умножении дробей умножаются числители и знаменатели
- Смешанные числа преобразуются в неправильные дроби для удобства вычислений

Давайте разберём решение примера $\sqrt{5\frac{4}{9}}$ более подробно и пошагово.

Шаг 1: Преобразование смешанного числа в неправильную дробь
* В смешанном числе $5\frac{4}{9}$:
* Умножаем целую часть (5) на знаменатель (9): 5 × 9 = 45
* Прибавляем числитель дробной части (4): 45 + 4 = 49
* Делим на знаменатель (9)
* Получаем: $5\frac{4}{9} = \frac{49}{9}$

Шаг 2: Работа с корнем
* Теперь у нас выражение $\sqrt{\frac{49}{9}}$
* По правилу: корень из дроби равен дроби корней
* $\sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}$

Шаг 3: Вычисление корней
* $\sqrt{49} = 7$ (так как 7 × 7 = 49)
* $\sqrt{9} = 3$ (так как 3 × 3 = 9)
* Получаем: $\frac{7}{3}$

Проверка:
* $\frac{7}{3} ≈ 2.333...$
* Если возвести в квадрат: $(\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$
* Результат верный!

Для наглядности:



5 4/9 = (5 × 9 + 4)/9
= (45 + 4)/9
= 49/9
√(49/9) = √49/√9
= 7/3

Ответ: 7/3

Важные правила, которые мы использовали:
1. При переводе смешанного числа в неправильную дробь:
* (Целая часть × знаменатель + числитель)/знаменатель
2. Свойство корня из дроби:
* $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
3. Извлечение корня из полных квадратов:
* $\sqrt{49} = 7$
* $\sqrt{9} = 3$

Хорошо, давайте разберём задание $\sqrt{5\frac{4}{9}}$ ещё понятнее! 😊

1. Что нам дано:
   * Число $5\frac{4}{9}$ под знаком корня
   * Это смешанное число, где 5 - целая часть, а $\frac{4}{9}$ - дробная часть

2. Превращаем смешанное число в неправильную дробь:
   * Берём целое число 5
   * Умножаем на знаменатель: 5 × 9 = 45
   * К результату прибавляем числитель: 45 + 4 = 49
   * Внизу пишем знаменатель 9
   * Получилось: $\frac{49}{9}$

3. Теперь у нас выражение $\sqrt{\frac{49}{9}}$

4. Используем правило: когда под корнем дробь, можно записать как дробь из корней
   * $\sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}$

5. Вычисляем:
   * $\sqrt{49} = 7$ (потому что 7 × 7 = 49)
   * $\sqrt{9} = 3$ (потому что 3 × 3 = 9)
   * Получаем: $\frac{7}{3}$

Давайте проверим:
* $\frac{7}{3} = 2.333...$
* Если это правильный ответ, то $(\frac{7}{3})^2$ должно равняться $5\frac{4}{9}$
* $(\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$ ✅

5 4/9 → Шаг за шагом:
1) 5 × 9 = 45
2) 45 + 4 = 49
3) 49/9 под корнем
4) √(49/9) = √49/√9
5) 7/3

Ответ: 7/3

🔑 Главные моменты:
1. Сначала превращаем смешанное число в неправильную дробь
2. Применяем правило корня из дроби
3. Вычисляем корни из числителя и знаменателя
4. Записываем ответ в виде дроби

Теперь решение должно быть более понятным! 😊