Язык задания: Russian

Задание 7

Условие: Найти значение выражения $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{b}{a+b} - \frac{b}{a-b}$ при $a = 7$, $b = 3$.

Решение:

1. Упростим выражение:

$\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{b}{a+b} - \frac{b}{a-b} = \frac{a^2 + b^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{b(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)}$

2. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a^2 + b^2 - b(a-b) - b(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 + b^2 - ab + b^2 - ab - b^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{(a+b)(a-b)}$

3. Упростим числитель:

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)}$

4. Сократим дробь:

$\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b}{a+b}$

5. Подставим значения $a = 7$ и $b = 3$:

$\frac{7-3}{7+3} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0.4$

Ответ: 0.4

Задание 8

Условие: Выполните сложение и представьте в виде несократимой алгебраической дроби: $\frac{3}{a} + \frac{2-2b}{a^2 + ab}$. Вычислите, если $a = -1, b = 2$.

Решение:

1. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{3}{a} + \frac{2-2b}{a^2 + ab} = \frac{3}{a} + \frac{2-2b}{a(a + b)} = \frac{3(a+b)}{a(a+b)} + \frac{2-2b}{a(a+b)}$

2. Сложим дроби:

$\frac{3(a+b) + 2 - 2b}{a(a+b)} = \frac{3a + 3b + 2 - 2b}{a(a+b)} = \frac{3a + b + 2}{a(a+b)}$

3. Подставим значения $a = -1$ и $b = 2$:

$\frac{3(-1) + 2 + 2}{(-1)(-1+2)} = \frac{-3 + 2 + 2}{(-1)(1)} = \frac{1}{-1} = -1$

Ответ: -1

Задание 9

Условие: Выполните вычитание $\frac{a}{ab + b^2} - \frac{b}{a^2 + ab}$ и представьте результат в виде несократимой алгебраической дроби. Найдите значение выражения, если $a = \frac{1}{2}$, $b = \frac{1}{3}$.

Решение:

1. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a}{ab + b^2} - \frac{b}{a^2 + ab} = \frac{a}{b(a+b)} - \frac{b}{a(a+b)} = \frac{a^2}{ab(a+b)} - \frac{b^2}{ab(a+b)}$

2. Вычтем дроби:

$\frac{a^2 - b^2}{ab(a+b)}$

3. Разложим числитель на множители:

$\frac{(a-b)(a+b)}{ab(a+b)}$

4. Сократим дробь:

$\frac{a-b}{ab}$

5. Подставим значения $a = \frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{3}$:

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3-2}{6}}{\frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} = 1$

Ответ: 1