Задание 1.1. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: $-3x^3y^4x^5 \cdot 4y^3$

Решение:

1) Сначала перемножим числовые коэффициенты:
$-3 \cdot 4 = -12$

2) Затем сложим показатели степеней при одинаковых переменных:
* Для переменной $x$: $3 + 5 = 8$
* Для переменной $y$: $4 + 3 = 7$

3) Запишем результат в виде одночлена стандартного вида:
$-3x^3y^4x^5 \cdot 4y^3 = -12x^8y^7$

Ответ: $-12x^8y^7$

Задание 1.2. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида: $(−4a^6b)^3$

Решение:

1) Воспользуемся правилом возведения произведения в степень: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

2) Применим это правило к нашему выражению:
$(−4a^6b)^3 = (−4)^3 \cdot (a^6)^3 \cdot (b)^3$

3) Вычислим каждую часть:
* $(−4)^3 = −4 \cdot (−4) \cdot (−4) = −4 \cdot 16 = −64$
* $(a^6)^3 = a^{6 \cdot 3} = a^{18}$
* $(b)^3 = b^3$

4) Запишем результат в виде одночлена стандартного вида:
$(−4a^6b)^3 = −64a^{18}b^3$

Ответ: $−64a^{18}b^3$

Задание 2. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение: $(5a^2 - 2a - 3) - (2a^2 + 2a - 5)$

Решение:

1) Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:
$(5a^2 - 2a - 3) - (2a^2 + 2a - 5) = 5a^2 - 2a - 3 - 2a^2 - 2a + 5$

2) Сгруппируем подобные члены:
* Коэффициенты при $a^2$: $5 - 2 = 3$
* Коэффициенты при $a$: $-2 - 2 = -4$
* Свободные члены: $-3 + 5 = 2$

3) Запишем результат в виде многочлена стандартного вида:
$5a^2 - 2a - 3 - 2a^2 - 2a + 5 = 3a^2 - 4a + 2$

Ответ: $3a^2 - 4a + 2$

Задание 3.1. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение: $2x(x^4 - 5x^3 + 3)$

Решение:

1) Применим распределительное свойство умножения и умножим каждый член в скобках на $2x$:
$2x(x^4 - 5x^3 + 3) = 2x \cdot x^4 - 2x \cdot 5x^3 + 2x \cdot 3$

2) Выполним умножение:
$2x \cdot x^4 = 2x^5$
$2x \cdot 5x^3 = 10x^4$
$2x \cdot 3 = 6x$

3) Запишем результат в виде многочлена стандартного вида:
$2x(x^4 - 5x^3 + 3) = 2x^5 - 10x^4 + 6x$

Ответ: $2x^5 - 10x^4 + 6x$