Задание: Вычислить выражение

$\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{10} \cdot (\frac{15}{16} - \frac{14}{39} + \frac{34}{35} - \frac{23}{31}):(\frac{3}{32} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{15} \cdot 4\frac{2}{3} - \frac{1}{6}) =$

Решим это выражение пошагово.

Шаг 1: Найдем значение выражения в первых скобках

Вычислим $\frac{15}{16} - \frac{14}{39} + \frac{34}{35} - \frac{23}{31}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 16, 39, 35 и 31 довольно большое, поэтому будем вычислять последовательно.

$\frac{15}{16} - \frac{14}{39} = \frac{15 \cdot 39 - 14 \cdot 16}{16 \cdot 39} = \frac{585 - 224}{624} = \frac{361}{624}$

Теперь добавим третью дробь:
$\frac{361}{624} + \frac{34}{35} = \frac{361 \cdot 35 + 624 \cdot 34}{624 \cdot 35} = \frac{12635 + 21216}{21840} = \frac{33851}{21840}$

Добавляем четвертую дробь:
$\frac{33851}{21840} - \frac{23}{31} = \frac{33851 \cdot 31 - 21840 \cdot 23}{21840 \cdot 31} = \frac{1049381 - 502320}{677040} = \frac{547061}{677040}$

Итак, значение выражения в первых скобках равно $\frac{547061}{677040}$

Шаг 2: Найдем значение выражения во вторых скобках

Вычислим $\frac{3}{32} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{15} \cdot 4\frac{2}{3} - \frac{1}{6}$

Сначала преобразуем смешанное число $4\frac{2}{3}$ в неправильную дробь:
$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Теперь вычислим произведение дробей:
$\frac{3}{32} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{15} \cdot \frac{14}{3} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 14}{32 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 3} = \frac{84}{7200} = \frac{7}{600}$

Теперь вычитаем $\frac{1}{6}$:
$\frac{7}{600} - \frac{1}{6} = \frac{7}{600} - \frac{100}{600} = \frac{7 - 100}{600} = \frac{-93}{600} = -\frac{31}{200}$

Итак, значение выражения во вторых скобках равно $-\frac{31}{200}$

Шаг 3: Вычислим частное выражений в скобках

$\frac{547061}{677040} : (-\frac{31}{200}) = \frac{547061}{677040} \cdot (-\frac{200}{31}) = -\frac{547061 \cdot 200}{677040 \cdot 31} = -\frac{109412200}{20988240} = -\frac{5470610}{1049412} \approx -5,21$

Шаг 4: Вычислим произведение дробей перед скобками

$\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{10} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 7}{7 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 10} = \frac{840}{4410} = \frac{20}{105} = \frac{4}{21}$

Шаг 5: Вычислим окончательный результат

$\frac{4}{21} \cdot (-\frac{5470610}{1049412}) = -\frac{4 \cdot 5470610}{21 \cdot 1049412} = -\frac{21882440}{22037652} \approx -0,993$

Ответ: $\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{7}{10} \cdot (\frac{15}{16} - \frac{14}{39} + \frac{34}{35} - \frac{23}{31}):(\frac{3}{32} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{15} \cdot 4\frac{2}{3} - \frac{1}{6}) \approx -0,993$

Примечание: Из-за сложности вычислений с большими числами, я привел приближенное значение. Для получения точного значения рекомендуется использовать калькулятор.