{
"subject": "Алгебра",
"grade": 7,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение систем линейных уравнений",
"description": "Подробное решение двух систем линейных уравнений с двумя неизвестными различными методами",
"keywords": ["системы уравнений", "линейные уравнения", "алгебра", "метод подстановки", "метод сложения"]
}

Давайте решим обе системы уравнений пошагово! 📝

Задача 851:
Система уравнений:
$$\begin{cases} -5x+5x=-2 \ 5x+3y=4 \end{cases}$$

Решение:
1) В первом уравнении заметим, что -5x+5x = 0
2) Получаем: 0 = -2
3) Это уравнение не имеет решений, так как 0 ≠ -2
4) Значит, система не имеет решений ∅

Задача 852:
Система уравнений:
$$\begin{cases} 5x-y=2 \ -x+y=-1 \end{cases}$$

Решение:
1) Используем метод сложения. Сложим уравнения:
$5x-y=2$
$-x+y=-1$

$4x=1$

2) Из этого находим x:
$x=\frac{1}{4}$

3) Подставим найденное значение x в любое из уравнений, например в первое:
$5(\frac{1}{4})-y=2$
$\frac{5}{4}-y=2$
$-y=2-\frac{5}{4}$
$-y=\frac{3}{4}$
$y=-\frac{3}{4}$

4) Ответ: $x=\frac{1}{4}$, $y=-\frac{3}{4}$

Проверка: подставляем найденные значения в оба уравнения:
- $5(\frac{1}{4})-(-\frac{3}{4})=2$ ✓
- $-\frac{1}{4}+(-\frac{3}{4})=-1$ ✓

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 7,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными",
"description": "Пошаговое решение системы линейных уравнений методом сложения",
"keywords": ["система уравнений", "линейные уравнения", "метод сложения", "алгебра", "математика"]
}

Решим систему уравнений:
$$\begin{cases} 5x-y=2 \ -x+y=-1 \end{cases}$$

Решение:
1) Используем метод сложения. У нас есть переменная y с разными знаками, поэтому просто складываем уравнения:
$$5x-y=2$$
$$-x+y=-1$$

$$4x=1$$

2) Находим x из полученного уравнения:
$$x=\frac{1}{4}$$

3) Подставляем найденное значение x в первое уравнение:
$$5\cdot\frac{1}{4}-y=2$$
$$\frac{5}{4}-y=2$$
$$-y=2-\frac{5}{4}$$
$$-y=\frac{8-5}{4}=\frac{3}{4}$$
$$y=-\frac{3}{4}$$

Ответ: $x=\frac{1}{4}$, $y=-\frac{3}{4}$

Проверка (подставим значения в оба уравнения):
1) $5\cdot\frac{1}{4}-(-\frac{3}{4})=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=\frac{8}{4}=2$ ✓
2) $-\frac{1}{4}+(-\frac{3}{4})=-\frac{4}{4}=-1$ ✓

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 7,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение системы линейных уравнений с двумя неизвестными",
"description": "Пошаговое решение системы линейных уравнений методом подстановки",
"keywords": ["система уравнений", "линейные уравнения", "метод подстановки", "алгебра", "математика"]
}

Решим систему уравнений:
$$\begin{cases} 4x+y=-3 \ -y-x^2=6 \end{cases}$$

Решение:

1) Из первого уравнения выразим y:
$$4x+y=-3$$
$$y=-3-4x$$

2) Подставим выражение для y во второе уравнение:
$$-(-3-4x)-x^2=6$$
$$3+4x-x^2=6$$
$$-x^2+4x+3-6=0$$
$$-x^2+4x-3=0$$

3) Получили квадратное уравнение. Решим его:
$$x^2-4x+3=0$$
$$D=16-12=4$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{4\pm2}{2}$$
$$x_1=3,\ x_2=1$$

4) Найдем соответствующие значения y:
Для $x_1=3$: $y=-3-4\cdot3=-3-12=-15$
Для $x_2=1$: $y=-3-4\cdot1=-3-4=-7$

Ответ: $(3;-15)$, $(1;-7)$

Проверка: подставляем полученные пары значений в оба уравнения:
Для первой пары $(3;-15)$:
- $4\cdot3+(-15)=12-15=-3$ ✓
- $-(-15)-3^2=-(-15)-9=15-9=6$ ✓

Для второй пары $(1;-7)$:
- $4\cdot1+(-7)=4-7=-3$ ✓
- $-(-7)-1^2=7-1=6$ ✓

{
"subject": "Алгебра",
"grade": 7,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Решение системы уравнений с квадратным уравнением",
"description": "Пошаговое решение системы уравнений, содержащей линейное и квадратное уравнение",
"keywords": ["система уравнений", "квадратное уравнение", "линейное уравнение", "алгебра", "метод подстановки"]
}

Решим систему уравнений:
$$\begin{cases} 3x+y=3 \ y-x^2=-7 \end{cases}$$

Решение:

1) Из первого уравнения выразим y:
$$3x+y=3$$
$$y=3-3x$$

2) Подставим выражение для y во второе уравнение:
$$(3-3x)-x^2=-7$$
$$3-3x-x^2=-7$$
$$-x^2-3x+3+7=0$$
$$-x^2-3x+10=0$$
$$x^2+3x-10=0$$

3) Решаем квадратное уравнение:
$$a=1,\ b=3,\ c=-10$$
$$D=b^2-4ac=9-4(1)(-10)=9+40=49$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-3\pm7}{2}$$
$$x_1=2,\ x_2=-5$$

4) Находим соответствующие значения y:
Для $x_1=2$: $y=3-3\cdot2=3-6=-3$
Для $x_2=-5$: $y=3-3\cdot(-5)=3+15=18$

Проверка:
Для пары $(2;-3)$:
- $3\cdot2+(-3)=6-3=3$ ✓
- $(-3)-2^2=-3-4=-7$ ✓

Для пары $(-5;18)$:
- $3\cdot(-5)+18=-15+18=3$ ✓
- $18-(-5)^2=18-25=-7$ ✓

Ответ: $(2;-3)$, $(-5;18)$