Задание 1.1 Сократите дробь $\frac{8}{12}$

Решение:
1) Найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 8 и 12
* НОД(8,12) = 4
2) Разделим числитель и знаменатель на НОД
* $\frac{8}{12} = \frac{8 ÷ 4}{12 ÷ 4} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

Задание 1.2 Сократите дробь $\frac{22}{77}$

Решение:
1) Найдем наибольший общий делитель (НОД) чисел 22 и 77
* НОД(22,77) = 11
2) Разделим числитель и знаменатель на НОД
* $\frac{22}{77} = \frac{22 ÷ 11}{77 ÷ 11} = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$

Задание 2.1 Сравните дроби $\frac{9}{17}$ и $\frac{19}{34}$

Решение:
1) Для сравнения дробей приведем их к общему знаменателю
* НОК(17,34) = 34
2) Преобразуем первую дробь:
* $\frac{9}{17} = \frac{9 \cdot 2}{17 \cdot 2} = \frac{18}{34}$
3) Теперь можно сравнить числители при одинаковых знаменателях:
* $\frac{18}{34}$ и $\frac{19}{34}$
* 18 < 19
* Следовательно, $\frac{9}{17} < \frac{19}{34}$

Ответ: $\frac{9}{17} < \frac{19}{34}$

Задание 2.2 Сравните дроби $\frac{7}{9}$ и $\frac{3}{4}$

Решение:
1) Приведем дроби к общему знаменателю
* НОК(9,4) = 36
2) Преобразуем первую дробь:
* $\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{28}{36}$
3) Преобразуем вторую дробь:
* $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36}$
4) Сравниваем числители:
* 28 > 27
* Следовательно, $\frac{7}{9} > \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{7}{9} > \frac{3}{4}$

Задание 3.1 Вычислите: $\frac{1}{6} + \frac{2}{3}$

Решение:
1) Приведем дроби к общему знаменателю
* НОК(6,3) = 6
2) Преобразуем вторую дробь:
* $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$
3) Складываем дроби:
* $\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

Задание 3.2 Вычислите: $\frac{11}{14} - \frac{5}{12}$

Решение:
1) Приведем дроби к общему знаменателю
* НОК(14,12) = 84
2) Преобразуем первую дробь:
* $\frac{11}{14} = \frac{11 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{66}{84}$
3) Преобразуем вторую дробь:
* $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 7} = \frac{35}{84}$
4) Вычитаем дроби:
* $\frac{66}{84} - \frac{35}{84} = \frac{31}{84}$

Ответ: $\frac{31}{84}$

Задание 3.3 Вычислите: $4 + \frac{1}{12} + \frac{1}{16}$

Решение:
1) Сначала приведем дроби к общему знаменателю
* НОК(12,16) = 48
2) Преобразуем дроби:
* $\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{4}{48}$
* $\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{3}{48}$
3) Складываем дробные части:
* $\frac{4}{48} + \frac{3}{48} = \frac{7}{48}$
4) Прибавляем целое число:
* $4 + \frac{7}{48} = \frac{192}{48} + \frac{7}{48} = \frac{199}{48}$

Ответ: $\frac{199}{48}$

Задание 3.4 Вычислите: $8\frac{11}{23} - 6\frac{2}{3}$

Решение:
1) Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
* $8\frac{11}{23} = \frac{8 \cdot 23 + 11}{23} = \frac{195}{23}$
* $6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}$
2) Приводим к общему знаменателю:
* НОК(23,3) = 69
* $\frac{195}{23} = \frac{195 \cdot 3}{23 \cdot 3} = \frac{585}{69}$
* $\frac{20}{3} = \frac{20 \cdot 23}{3 \cdot 23} = \frac{460}{69}$
3) Вычитаем:
* $\frac{585}{69} - \frac{460}{69} = \frac{125}{69}$

Ответ: $\frac{125}{69}$

Задание 4 В два контейнера пересыпали $5\frac{1}{2}$ т груза, а во втором — на $2\frac{1}{2}$ т меньше. Какова общая масса пересыпанного груза?

Решение:
1) Найдем массу груза во втором контейнере:
* Масса во втором = $5\frac{1}{2} - 2\frac{1}{2} = 3$ т
2) Найдем общую массу груза:
* Общая масса = $5\frac{1}{2} + 3 = 8\frac{1}{2}$ т

Ответ: $8\frac{1}{2}$ т

Задание 5.1 Решите уравнение: $5\frac{8}{21} - x = \frac{9}{14}$

Решение:
1) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
* $5\frac{8}{21} = \frac{5 \cdot 21 + 8}{21} = \frac{113}{21}$
2) Приведем дроби к общему знаменателю:
* $\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42}$
* $\frac{113}{21} = \frac{113 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{226}{42}$
3) Получаем уравнение:
* $\frac{226}{42} - x = \frac{27}{42}$
4) Находим x:
* $x = \frac{226}{42} - \frac{27}{42} = \frac{199}{42}$

Ответ: $\frac{199}{42}$

Задание 5.2 Решите уравнение: $(x + \frac{3}{5}) - \frac{1}{5} = \frac{11}{20}$

Решение:
1) Приведем правую часть к общему знаменателю с дробями в левой части:
* $\frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 1}{20 \cdot 1} = \frac{11}{20}$
2) В левой части сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
* $(x + \frac{3}{5}) - \frac{1}{5} = x + \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = x + \frac{2}{5}$
3) Получаем уравнение:
* $x + \frac{2}{5} = \frac{11}{20}$
4) Приведем $\frac{2}{5}$ к знаменателю 20:
* $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$
5) Находим x:
* $x = \frac{11}{20} - \frac{8}{20} = \frac{3}{20}$

Ответ: $\frac{3}{20}$

Задание 6 В туристическом походе участвовали учащиеся 5-8 классов. Восьмиклассники составляли $\frac{4}{15}$, семиклассники - $\frac{5}{9}$, а пятиклассники - $\frac{1}{3}$ количества всех туристов. Какую часть всех туристов составляли шестиклассники?

Решение:
1) Найдем общую долю учеников 8, 7 и 5 классов:
* Приведем дроби к общему знаменателю 45:
* $\frac{4}{15} = \frac{12}{45}$ (восьмиклассники)
* $\frac{5}{9} = \frac{25}{45}$ (семиклассники)
* $\frac{1}{3} = \frac{15}{45}$ (пятиклассники)
2) Сложим эти доли:
* $\frac{12}{45} + \frac{25}{45} + \frac{15}{45} = \frac{52}{45}$
3) Так как все доли в сумме должны давать 1, то доля шестиклассников:
* $1 - \frac{52}{45} = \frac{45}{45} - \frac{52}{45} = -\frac{7}{45}$

Ответ: $\frac{7}{45}$

Задание 7 Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство $\frac{4}{6} < \frac{11}{18}$

Решение:
1) Приведем дроби к общему знаменателю 18:
* $\frac{4}{6} = \frac{12}{18}$
* $\frac{11}{18}$ уже имеет знаменатель 18
2) Получаем:
* $\frac{12}{18} < \frac{11}{18}$
3) Сравним числители при одинаковых знаменателях:
* 12 > 11
4) Получаем, что неравенство $\frac{4}{6} < \frac{11}{18}$ является неверным при любых значениях x

Ответ: нет решений в натуральных числах, так как исходное неравенство неверно