Задание 1. Найдите число, обратное данному числу:

$\frac{13}{8}, 2\frac{5}{7}, 9, \frac{7}{8}$

Решение:

Чтобы найти число, обратное данному, нужно записать дробь в виде $\frac{a}{b}$ и поменять местами числитель и знаменатель. То есть, обратное число к $\frac{a}{b}$ будет $\frac{b}{a}$.

1) Для числа $\frac{13}{8}$:
Обратное число: $\frac{8}{13}$

2) Для числа $2\frac{5}{7}$:
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$2\frac{5}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{14 + 5}{7} = \frac{19}{7}$
Обратное число: $\frac{7}{19}$

3) Для числа $9$:
Представим его как дробь: $9 = \frac{9}{1}$
Обратное число: $\frac{1}{9}$

4) Для числа $\frac{7}{8}$:
Обратное число: $\frac{8}{7}$

Ответ: $\frac{8}{13}, \frac{7}{19}, \frac{1}{9}, \frac{8}{7}$

Задание 2а. Вычислите: $\frac{11}{8} - 3$

Решение:

Чтобы вычесть целое число из дроби, нужно представить целое число в виде дроби с тем же знаменателем и выполнить вычитание.

$\frac{11}{8} - 3 = \frac{11}{8} - \frac{3 \cdot 8}{8} = \frac{11}{8} - \frac{24}{8} = \frac{11 - 24}{8} = \frac{-13}{8} = -\frac{13}{8}$

Ответ: $-\frac{13}{8}$

Задание 2б. Вычислите: $\frac{8}{51} \cdot \frac{17}{20}$

Решение:

Чтобы умножить дроби, нужно умножить числители и знаменатели:

$\frac{8}{51} \cdot \frac{17}{20} = \frac{8 \cdot 17}{51 \cdot 20} = \frac{136}{1020}$

Теперь сократим дробь. Найдем НОД(136, 1020).

Разложим числа на простые множители:
- 136 = 8 · 17 = 2³ · 17
- 1020 = 4 · 255 = 4 · 3 · 85 = 4 · 3 · 5 · 17 = 2² · 3 · 5 · 17

Общие множители: 2² и 17
НОД(136, 1020) = 2² · 17 = 4 · 17 = 68

Сократим дробь на НОД:
$\frac{136}{1020} = \frac{136 ÷ 68}{1020 ÷ 68} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$

Задание 2в. Вычислите: $1\frac{7}{18} - 1\frac{1}{5}$

Решение:

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{7}{18} = \frac{18 + 7}{18} = \frac{25}{18}$

$1\frac{1}{5} = \frac{5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

Теперь нужно привести дроби к общему знаменателю. Найдем НОК(18, 5):
- 18 = 2 · 3²
- 5 = 5
НОК(18, 5) = 2 · 3² · 5 = 90

Приведем дроби к знаменателю 90:
$\frac{25}{18} = \frac{25 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{125}{90}$

$\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 18}{5 \cdot 18} = \frac{108}{90}$

Теперь выполним вычитание:
$\frac{125}{90} - \frac{108}{90} = \frac{125 - 108}{90} = \frac{17}{90}$

Ответ: $\frac{17}{90}$