Задание 1: Вычислите: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{18^5}{12^6} : \left(\frac{27}{8}\right)^2$

Решение:

1. Упростим первое слагаемое:
   $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

2. Упростим второе слагаемое:
   $\frac{18^5}{12^6} : \left(\frac{27}{8}\right)^2 = \frac{(2 \cdot 3^2)^5}{(2^2 \cdot 3)^6} : \frac{(3^3)^2}{(2^3)^2} = \frac{2^5 \cdot 3^{10}}{2^{12} \cdot 3^6} : \frac{3^6}{2^6} = \frac{2^5 \cdot 3^{10} \cdot 2^6}{2^{12} \cdot 3^6 \cdot 3^6} = \frac{2^{11} \cdot 3^{10}}{2^{12} \cdot 3^{12}} = \frac{1}{2 \cdot 3^2} = \frac{1}{2 \cdot 9} = \frac{1}{18}$

3. Сложим упрощенные слагаемые:
   $\frac{4}{9} + \frac{1}{18} = \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{1}{18} = \frac{8}{18} + \frac{1}{18} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$