Задание 4: Найдите расстояние между точками A(-3,5) и B(4,6)

Решение:
1) Для нахождения расстояния между двумя точками используем формулу:
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

2) Подставляем координаты:
* $x_1 = -3$, $y_1 = 5$
* $x_2 = 4$, $y_2 = 6$

3) Вычисляем:
$d = \sqrt{(4-(-3))^2 + (6-5)^2}$
$d = \sqrt{7^2 + 1^2}$
$d = \sqrt{49 + 1}$
$d = \sqrt{50}$
$d = 5\sqrt{2}$ ≈ 7.07

Ответ: $5\sqrt{2}$ единиц

Задание 7: Вычислите -13,6 - (-4,8)

Решение:
1) При вычитании отрицательного числа мы заменяем операцию на сложение и меняем знак вычитаемого:
* $-13,6 - (-4,8) = -13,6 + 4,8$

2) Складываем числа:
* $-13,6 + 4,8 = -8,8$

Ответ: -8,8

Задание 8: Из двух чисел $-5\frac{2}{3}$ и 5,85 укажите то число, модуль которого больше.

Решение:
1) Найдем модуль первого числа:
* $|-5\frac{2}{3}| = 5\frac{2}{3} = 5,67$

2) Найдем модуль второго числа:
* $|5,85| = 5,85$

3) Сравним полученные значения:
* $5,67 < 5,85$

Ответ: 5,85 имеет больший модуль

Задание 5: Найдите все пары противоположных чисел:

Решение:
Противоположные числа - это числа, которые отличаются только знаком и при сложении дают 0.

Рассмотрим каждую пару:

а) $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{4}$ ✅ - противоположные числа

б) $\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{3}$ ✅ - противоположные числа

в) $\frac{1}{2}$ и 0,5 ❌ - не противоположные числа (это равные числа)

г) $\frac{9}{4}$ и 2,25 ❌ - не противоположные числа (это равные числа)

д) 3,75 и -3,75 ✅ - противоположные числа

Ответ: противоположными парами являются:
- $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{4}$
- $\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{3}$
- 3,75 и -3,75

Задание 6: Закончите высказывание так, чтобы получилось верное равенство:
«Если -m = 5, то (-m) = ...»

Решение:
1) По условию -m = 5
2) Значит, (-m) = 5

Ответ: 5

Задание 9: Укажите, в каких случаях сравнение выполнено неверно:

Рассмотрим каждое сравнение:

а) $\frac{13}{24} < \frac{12}{24}$ ❌ - НЕВЕРНО
* $\frac{13}{24} = 0,542$
* $\frac{12}{24} = 0,5$
* 0,542 > 0,5

б) -3,45 < -3,9 ✅ - ВЕРНО

в) -0,001 < 0 ✅ - ВЕРНО

г) $\frac{2}{3} < -\frac{3}{2}$ ❌ - НЕВЕРНО
* $\frac{2}{3} ≈ 0,67$
* $-\frac{3}{2} = -1,5$
* 0,67 > -1,5

Ответ: неверно выполнены сравнения в пунктах а) и г)

Задание 10: Укажите ряд чисел, расположенных в порядке возрастания.

Проанализируем каждый вариант:

а) $-2\frac{5}{9}$, 2,45, 0, 1,09, $\frac{1}{9}$ ❌
* Преобразуем в десятичные дроби: -2,56; 2,45; 0; 1,09; 0,11
* Не упорядочено по возрастанию

б) $\frac{1}{9}$, 1,09, 0, -2,45, -2,5 ❌
* Преобразуем: 0,11; 1,09; 0; -2,45; -2,5
* Не упорядочено по возрастанию

в) -2,5, -2,45, 0, $\frac{1}{9}$, 1,09 ✅
* Преобразуем: -2,5; -2,45; 0; 0,11; 1,09
* Упорядочено по возрастанию

Ответ: правильно расположены числа в варианте в)

Задание 9: Укажите, в каких случаях сравнение выполнено неверно

Правила сравнения чисел:
1. При сравнении чисел с разными знаками:
* Положительное число всегда больше отрицательного
* Ноль больше любого отрицательного числа

2. При сравнении отрицательных чисел:
   * Чем меньше модуль отрицательного числа, тем больше само число
   * -3,45 > -3,9 (так как |-3,45| < |-3,9|)

3. При сравнении дробей:
   * Приводим к десятичному виду или общему знаменателю

Разбор каждого случая:

а) $\frac{13}{24} < \frac{12}{24}$ - НЕВЕРНО
* $\frac{13}{24} = 0,542$ (делим 13 на 24)
* $\frac{12}{24} = 0,5$ (можно сократить до $\frac{1}{2}$)
* 0,542 > 0,5, поэтому исходное неравенство неверно

б) -3,45 < -3,9 - ВЕРНО
* |-3,45| = 3,45
* |-3,9| = 3,9
* 3,45 < 3,9, значит -3,45 > -3,9
* Неравенство записано неверно!

в) -0,001 < 0 - ВЕРНО
* Любое отрицательное число меньше нуля

г) $\frac{2}{3} < -\frac{3}{2}$ - НЕВЕРНО
* $\frac{2}{3} ≈ 0,67$ (положительное число)
* $-\frac{3}{2} = -1,5$ (отрицательное число)
* Положительное число всегда больше отрицательного

Исправленный ответ: неверно выполнены сравнения в пунктах а), б) и г)

Задание 10: Укажите ряд чисел, расположенных в порядке возрастания.

Правила расположения чисел в порядке возрастания:
1. Числа следуют слева направо от меньшего к большему
2. При сравнении чисел учитываем:
* Отрицательные числа меньше положительных
* Все отрицательные числа меньше нуля
* Все положительные числа больше нуля

Алгоритм решения:
1. Преобразуем все числа к десятичному виду для удобства сравнения
2. Расставляем числа на числовой прямой
3. Проверяем, соблюдается ли порядок возрастания слева направо

Подробный разбор вариантов:

а) $-2\frac{5}{9}$, 2,45, 0, 1,09, $\frac{1}{9}$
* $-2\frac{5}{9} = -2,556...$
* $\frac{1}{9} = 0,111...$
* Правильный порядок: -2,556 < 0 < 0,111 < 1,09 < 2,45
* Данный ряд не упорядочен

б) $\frac{1}{9}$, 1,09, 0, -2,45, -2,5
* $\frac{1}{9} = 0,111...$
* Правильный порядок: -2,5 < -2,45 < 0 < 0,111 < 1,09
* Данный ряд не упорядочен

в) -2,5, -2,45, 0, $\frac{1}{9}$, 1,09
* $\frac{1}{9} = 0,111...$
* Проверяем: -2,5 < -2,45 < 0 < 0,111 < 1,09
* Все числа расположены в порядке возрастания ✅

Ответ: правильно расположены числа в варианте в)

Объяснение выбора:
В варианте в) соблюдаются все правила расположения чисел в порядке возрастания:
1. Сначала идут отрицательные числа от меньшего к большему (-2,5 < -2,45)
2. Затем ноль
3. Потом положительные числа от меньшего к большему (0,111 < 1,09)

Задание 4: Найдите расстояние между точками A(-3,5) и B(4,6)

Теория:
Расстояние между двумя точками на координатной плоскости можно найти по формуле:
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$, где:
* $(x_1,y_1)$ - координаты первой точки
* $(x_2,y_2)$ - координаты второй точки

Пошаговое решение:

1) Определяем координаты точек:
* Точка A: $x_1 = -3$, $y_1 = 5$
* Точка B: $x_2 = 4$, $y_2 = 6$

2) Находим разности координат:
* $x_2-x_1 = 4-(-3) = 4+3 = 7$
* $y_2-y_1 = 6-5 = 1$

3) Возводим разности в квадрат:
* $(x_2-x_1)^2 = 7^2 = 49$
* $(y_2-y_1)^2 = 1^2 = 1$

4) Складываем квадраты разностей:
* $49 + 1 = 50$

5) Извлекаем квадратный корень:
* $d = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Проверка:
* $5\sqrt{2} ≈ 7,07$ единиц
* Это действительно расстояние между точками, что можно увидеть на координатной плоскости

Ответ: $5\sqrt{2}$ единиц

Задание 5: Найдите все пары противоположных чисел

Теория противоположных чисел:
1. Противоположные числа:
* Равны по модулю (абсолютной величине)
* Имеют разные знаки
* При сложении дают 0
* Находятся на числовой прямой на равном расстоянии от нуля

Подробный разбор каждой пары:

а) $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{4}$
* Модуль обоих чисел: $|\frac{3}{4}| = |-\frac{3}{4}| = 0,75$
* Знаки разные: '+' и '-'
* $\frac{3}{4} + (-\frac{3}{4}) = 0$
* ✅ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ

б) $\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{3}$
* Модуль обоих чисел: $|\frac{2}{3}| = |-\frac{2}{3}| ≈ 0,667$
* Знаки разные: '+' и '-'
* $\frac{2}{3} + (-\frac{2}{3}) = 0$
* ✅ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ

в) $\frac{1}{2}$ и 0,5
* $\frac{1}{2} = 0,5$
* Это одно и то же число в разных формах записи
* ❌ НЕ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ

г) $\frac{9}{4}$ и 2,25
* $\frac{9}{4} = 2,25$
* Это одно и то же число в разных формах записи
* ❌ НЕ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ

д) 3,75 и -3,75
* Модуль обоих чисел: |3,75| = |-3,75| = 3,75
* Знаки разные: '+' и '-'
* 3,75 + (-3,75) = 0
* ✅ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ

Ответ: противоположными парами являются:
1. $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{4}$
2. $\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{3}$
3. 3,75 и -3,75