Задание 1

Необходимо определить сказку, для которой данный граф определяет отношения между персонажами.

На графе изображены следующие персонажи и их действия:
- Д (Дед) → ЯЗ (Яйцо золотое): "Бил-бил, не разбил"
- Б (Баба) → ЯЗ: "Била-била, не разбила"
- КР (Курочка Ряба) → ЯЗ: "Снесла"
- М (Мышка) → ЯЗ: "Хвостиком вильнула и разбила"

Анализируя эти отношения, можно определить, что речь идет о русской народной сказке "Курочка Ряба".

В этой сказке:
1. Курочка Ряба снесла золотое яичко
2. Дед бил-бил, не разбил
3. Баба била-била, не разбила
4. Мышка бежала, хвостиком махнула, яичко упало и разбилось

Таким образом, ответ: "Курочка Ряба".

Задание 2

Нам нужно перечислить множество маршрутов, по которым можно подняться на холм и спуститься с него, а также решить эту же задачу с дополнительным условием.

Часть 1: Все возможные маршруты

У нас есть три тропинки (обозначим их A, B и C), которые поднимаются на холм и сходятся на вершине.

При подъеме на холм мы можем выбрать любую из трех тропинок (A, B или C).
При спуске с холма мы также можем выбрать любую из трех тропинок (A, B или C).

Таким образом, общее количество возможных маршрутов равно 3 × 3 = 9:

1. A вверх, A вниз
2. A вверх, B вниз
3. A вверх, C вниз
4. B вверх, A вниз
5. B вверх, B вниз
6. B вверх, C вниз
7. C вверх, A вниз
8. C вверх, B вниз
9. C вверх, C вниз

Часть 2: Маршруты с разными тропинками для подъема и спуска

Если вверх и вниз надо идти по разным тропинкам, то мы исключаем маршруты, где тропинка для подъема совпадает с тропинкой для спуска.

Исключаем маршруты:
- A вверх, A вниз
- B вверх, B вниз
- C вверх, C вниз

Остается 6 маршрутов:
1. A вверх, B вниз
2. A вверх, C вниз
3. B вверх, A вниз
4. B вверх, C вниз
5. C вверх, A вниз
6. C вверх, B вниз

Ответ:
- Всего возможных маршрутов: 9
- Маршрутов с разными тропинками для подъема и спуска: 6

Задание 3

Нам нужно определить, сколько трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 3, 5 и 7 при условии, что в записи числа не должно быть одинаковых цифр.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторикой. Нам нужно выбрать 3 различные цифры из 4 имеющихся (1, 3, 5, 7) и расположить их в определенном порядке.

Шаг 1: Подсчитаем, сколькими способами можно выбрать 3 цифры из 4.

Число сочетаний $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{24}{6} = 4$

То есть существует 4 способа выбрать 3 цифры из 4:
- 1, 3, 5 (без 7)
- 1, 3, 7 (без 5)
- 1, 5, 7 (без 3)
- 3, 5, 7 (без 1)

Шаг 2: Для каждого набора из 3 цифр подсчитаем, сколькими способами их можно расположить.

Число перестановок из 3 элементов равно $P_3 = 3! = 6$

То есть каждый набор из 3 цифр можно расположить 6 различными способами.

Шаг 3: Найдем общее количество трехзначных чисел.

Общее количество = количество наборов × количество перестановок = 4 × 6 = 24

Однако, нам нужно учесть, что трехзначное число не может начинаться с 0. Но в нашем наборе цифр (1, 3, 5, 7) нет нуля, поэтому все полученные числа будут трехзначными.

Ответ: С помощью цифр 1, 3, 5 и 7 можно записать 24 трехзначных числа, в которых не повторяются цифры.