Вот решение задач из варианта 2:

5. Решите уравнение:
1) $x - 7\frac{1}{3} = 12\frac{5}{12}$

Чтобы найти $x$, нужно к $12\frac{5}{12}$ прибавить $7\frac{1}{3}$. Сначала приведем дробную часть к общему знаменателю: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$.

$x = 12\frac{5}{12} + 7\frac{4}{12} = (12 + 7) + (\frac{5}{12} + \frac{4}{12}) = 19 + \frac{9}{12} = 19\frac{3}{4}$

Ответ: $x = 19\frac{3}{4}$

2) $(5\frac{7}{9} - x) + 2\frac{3}{4} = 3\frac{5}{12}$

Сначала упростим выражение, перенеся $2\frac{3}{4}$ в правую часть:
$5\frac{7}{9} - x = 3\frac{5}{12} - 2\frac{3}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю (36):
$3\frac{5}{12} = 3\frac{15}{36}$
$2\frac{3}{4} = 2\frac{27}{36}$

$5\frac{7}{9} - x = 3\frac{15}{36} - 2\frac{27}{36}$
$5\frac{7}{9} - x = 1\frac{15}{36} - \frac{27}{36} = \frac{51}{36} - \frac{27}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $x$:
$x = 5\frac{7}{9} - \frac{2}{3}$
$x = 5\frac{7}{9} - \frac{6}{9} = 5\frac{1}{9}$

Ответ: $x = 5\frac{1}{9}$

8. Задача про маляров:

Пусть вся работа (покраска забора) равна 1.
Первый маляр красит забор за 30 минут, значит, его производительность $\frac{1}{30}$ (часть забора в минуту).
Второй маляр красит забор за 20 минут, значит, его производительность $\frac{1}{20}$ (часть забора в минуту).

Первый маляр работал 13 минут, значит, он покрасил $13 \cdot \frac{1}{30} = \frac{13}{30}$ забора.
Второй маляр работал 9 минут, значит, он покрасил $9 \cdot \frac{1}{20} = \frac{9}{20}$ забора.

Вместе они покрасили $\frac{13}{30} + \frac{9}{20} = \frac{26}{60} + \frac{27}{60} = \frac{53}{60}$ забора.

Осталось покрасить $1 - \frac{53}{60} = \frac{60}{60} - \frac{53}{60} = \frac{7}{60}$ забора.

Ответ: Осталось покрасить $\frac{7}{60}$ забора.

Конечно, давай разберем, как решать уравнения с дробями и смешанными числами.

Основные принципы

1. Приведение к общему знаменателю: Перед сложением или вычитанием дробей, их нужно привести к общему знаменателю.
2. Преобразование смешанных чисел: Смешанные числа (например, $5\frac{7}{9}$) удобно преобразовывать в неправильные дроби (например, $\frac{52}{9}$) для упрощения вычислений.
3. Изоляция переменной: Цель решения уравнения — изолировать переменную (например, $x$) на одной стороне уравнения.

Шаги решения уравнений с дробями и смешанными числами

Рассмотрим на примерах:

Пример 1: $x - 7\frac{1}{3} = 12\frac{5}{12}$

1. Преобразование смешанных чисел (необязательно, но может упростить):
   В данном случае можно оставить смешанные числа как есть.

2. Изоляция переменной:
   Чтобы найти $x$, нужно к $12\frac{5}{12}$ прибавить $7\frac{1}{3}$:
   $x = 12\frac{5}{12} + 7\frac{1}{3}$

3. Приведение к общему знаменателю:
   Общий знаменатель для 12 и 3 — это 12. Значит, $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$.

4. Сложение дробей:
   $x = 12\frac{5}{12} + 7\frac{4}{12} = (12 + 7) + (\frac{5}{12} + \frac{4}{12}) = 19 + \frac{9}{12}$

5. Упрощение дроби (если возможно):
   $\frac{9}{12}$ можно упростить до $\frac{3}{4}$.

6. Финальный ответ:
   $x = 19\frac{3}{4}$

Пример 2: $(5\frac{7}{9} - x) + 2\frac{3}{4} = 3\frac{5}{12}$

1. Упрощение уравнения:
   Перенесем $2\frac{3}{4}$ в правую часть:
   $5\frac{7}{9} - x = 3\frac{5}{12} - 2\frac{3}{4}$

2. Приведение к общему знаменателю:
   Общий знаменатель для 9, 12 и 4 — это 36.
   $3\frac{5}{12} = 3\frac{15}{36}$
   $2\frac{3}{4} = 2\frac{27}{36}$
   $5\frac{7}{9} = 5\frac{28}{36}$

3. Вычитание дробей:
   $5\frac{28}{36} - x = 3\frac{15}{36} - 2\frac{27}{36}$
   $5\frac{28}{36} - x = 1\frac{15}{36} - \frac{27}{36} = \frac{51}{36} - \frac{27}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$

4. Изоляция переменной:
   $x = 5\frac{7}{9} - \frac{2}{3}$

5. Приведение к общему знаменателю:
   $x = 5\frac{7}{9} - \frac{6}{9}$

6. Вычитание дробей:
   $x = 5\frac{1}{9}$

Пример 3: Решить уравнение $\frac{2}{5}x + \frac{1}{3} = \frac{7}{15}$

1. Избавимся от дроби в левой части, вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей:
   $\frac{2}{5}x = \frac{7}{15} - \frac{1}{3}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю (15):
   $\frac{2}{5}x = \frac{7}{15} - \frac{5}{15}$

3. Выполним вычитание:
   $\frac{2}{5}x = \frac{2}{15}$

4. Умножим обе части на $\frac{5}{2}$ (обратное к $\frac{2}{5}$), чтобы найти $x$:
   $x = \frac{2}{15} \cdot \frac{5}{2}$

5. Сократим дроби:
   $x = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{3}$

6. Финальный ответ:
   $x = \frac{1}{3}$

Советы

• Внимательность: Будьте внимательны при приведении к общему знаменателю и выполнении арифметических операций.
• Упрощение: Упрощайте дроби, когда это возможно, чтобы избежать больших чисел.
• Проверка: Подставляйте полученный ответ в исходное уравнение, чтобы убедиться в его правильности.