Задание 1: Какая часть фигуры на рисунке 5.25 закрашена?

Решение:
1) На рисунке 5.25 представлены три фигуры (б, в, а)
2) Рассмотрим каждую фигуру:
- Фигура б: квадрат разделен на 4 равные части, 1 часть закрашена зеленым цветом → $\frac{1}{4}$ часть
- Фигура в: прямоугольник разделен на 6 равных частей, 3 части закрашены фиолетовым цветом → $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ часть
- Фигура а: прямоугольник разделен на 12 равных частей, 8 частей закрашены розовым цветом → $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ часть

Ответ:
Фигура б - $\frac{1}{4}$ часть
Фигура в - $\frac{1}{2}$ часть
Фигура а - $\frac{2}{3}$ часть

Задание 5.300 а) Найдите разность: $13\frac{5}{9} - 4$

Решение:
1) Представим целое число 4 в виде смешанной дроби с тем же знаменателем, что и первое число:
$4 = 4\frac{0}{9} = \frac{36}{9}$

2) Выполним вычитание:
$13\frac{5}{9} - 4 = \frac{13 \cdot 9 + 5}{9} - \frac{36}{9} = \frac{117 + 5}{9} - \frac{36}{9} = \frac{122 - 36}{9} = \frac{86}{9} = 9\frac{5}{9}$

Ответ: $9\frac{5}{9}$

Задание 5.300 б) Найдите разность: $17\frac{3}{14} - 5\frac{5}{14}$

Решение:
1) Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, можно вычесть отдельно целые части и отдельно дробные части:
$17\frac{3}{14} - 5\frac{5}{14} = (17 - 5) + (\frac{3}{14} - \frac{5}{14}) = 12 + \frac{3-5}{14} = 12 - \frac{2}{14} = 12 - \frac{1}{7} = 11\frac{6}{7}$

Проверка: $\frac{3-5}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$, поэтому $12 - \frac{1}{7} = 11\frac{6}{7}$

Ответ: $11\frac{6}{7}$

Задание 5.301 а) Найдите сумму: $6 + 8\frac{7}{13}$

Решение:
1) Представим целое число 6 в виде смешанной дроби с тем же знаменателем:
$6 = 6\frac{0}{13} = \frac{78}{13}$

2) Выполним сложение:
$6 + 8\frac{7}{13} = 6\frac{0}{13} + 8\frac{7}{13} = \frac{78}{13} + \frac{8 \cdot 13 + 7}{13} = \frac{78}{13} + \frac{104 + 7}{13} = \frac{78 + 111}{13} = \frac{189}{13} = 14\frac{7}{13}$

Ответ: $14\frac{7}{13}$

Задание 5.301 б) Найдите сумму: $12 + 19\frac{5}{24}$

Решение:
1) Представим целое число 12 в виде смешанной дроби с тем же знаменателем:
$12 = 12\frac{0}{24} = \frac{288}{24}$

2) Выполним сложение:
$12 + 19\frac{5}{24} = 12\frac{0}{24} + 19\frac{5}{24} = \frac{288}{24} + \frac{19 \cdot 24 + 5}{24} = \frac{288}{24} + \frac{456 + 5}{24} = \frac{288 + 461}{24} = \frac{749}{24} = 31\frac{5}{24}$

Ответ: $31\frac{5}{24}$

Задание 5.301 в) Найдите сумму: $5\frac{7}{15} + 8\frac{4}{15}$

Решение:
1) Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, можно сложить отдельно целые части и отдельно дробные части:
$5\frac{7}{15} + 8\frac{4}{15} = (5 + 8) + (\frac{7}{15} + \frac{4}{15}) = 13 + \frac{7+4}{15} = 13 + \frac{11}{15} = 13\frac{11}{15}$

Ответ: $13\frac{11}{15}$

Задание 5.301 г) Найдите сумму: $18\frac{5}{101} + 7\frac{25}{101}$

Решение:
1) Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, можно сложить отдельно целые части и отдельно дробные части:
$18\frac{5}{101} + 7\frac{25}{101} = (18 + 7) + (\frac{5}{101} + \frac{25}{101}) = 25 + \frac{5+25}{101} = 25 + \frac{30}{101} = 25\frac{30}{101}$

2) Сократим дробную часть, если возможно:
$\frac{30}{101}$ - несократимая дробь, так как 30 и 101 не имеют общих делителей.

Ответ: $25\frac{30}{101}$

Задание 5.301 д) Найдите сумму: $4\frac{3}{7} + 15\frac{4}{7}$

Решение:
1) Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, можно сложить отдельно целые части и отдельно дробные части:
$4\frac{3}{7} + 15\frac{4}{7} = (4 + 15) + (\frac{3}{7} + \frac{4}{7}) = 19 + \frac{3+4}{7} = 19 + \frac{7}{7} = 19 + 1 = 20$

Ответ: $20$

Задание 5.301 е) Найдите сумму: $3\frac{9}{13} + 4\frac{8}{13}$

Решение:
1) Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, можно сложить отдельно целые части и отдельно дробные части:
$3\frac{9}{13} + 4\frac{8}{13} = (3 + 4) + (\frac{9}{13} + \frac{8}{13}) = 7 + \frac{9+8}{13} = 7 + \frac{17}{13} = 7 + 1\frac{4}{13} = 8\frac{4}{13}$

Ответ: $8\frac{4}{13}$

Задание 5.302 Настя на приготовление уроков затратила $2\frac{5}{12}$ ч, а на прогулку — на $\frac{3}{4}$ ч больше. Сколько времени затратила Настя на прогулку и приготовление уроков вместе?

Решение:
1) Найдем, сколько времени Настя затратила на прогулку:
Время на прогулку = $2\frac{5}{12} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 12 + 5}{12} + \frac{3}{4} = \frac{24 + 5}{12} + \frac{3}{4} = \frac{29}{12} + \frac{3}{4}$

2) Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{29}{12} + \frac{3}{4} = \frac{29}{12} + \frac{9}{12} = \frac{29 + 9}{12} = \frac{38}{12} = 3\frac{2}{12} = 3\frac{1}{6}$

3) Найдем общее время, затраченное на приготовление уроков и прогулку:
Общее время = $2\frac{5}{12} + 3\frac{1}{6} = \frac{29}{12} + \frac{19}{6} = \frac{29}{12} + \frac{38}{12} = \frac{29 + 38}{12} = \frac{67}{12} = 5\frac{7}{12}$

Ответ: Настя затратила на прогулку и приготовление уроков вместе $5\frac{7}{12}$ часа.

Задание 5.303 Длина комнаты, имеющей форму прямоугольника, равна $5\frac{7}{20}$ м, а ширина на $1\frac{9}{20}$ м больше ширины. Сколько рулонов бордюрной ленты необходимо купить, чтобы приклеить по периметру потолка комнаты, если в одном рулоне 10 м ленты?

Решение:

В условии задачи есть неточность. Сказано, что "ширина на $1\frac{9}{20}$ м больше ширины", что не имеет смысла. Вероятно, имелось в виду, что "длина на $1\frac{9}{20}$ м больше ширины". Решим задачу с этим предположением.

1) Найдем ширину комнаты:
Если длина $5\frac{7}{20}$ м, а длина на $1\frac{9}{20}$ м больше ширины, то:
$5\frac{7}{20} = \text{ширина} + 1\frac{9}{20}$
$\text{ширина} = 5\frac{7}{20} - 1\frac{9}{20} = \frac{107}{20} - \frac{29}{20} = \frac{107 - 29}{20} = \frac{78}{20} = 3\frac{18}{20} = 3\frac{9}{10}$ м

2) Вычислим периметр комнаты:
Периметр = 2 × (длина + ширина) = 2 × ($5\frac{7}{20} + 3\frac{9}{10}$) = 2 × ($5\frac{7}{20} + 3\frac{18}{20}$) = 2 × ($5 + 3 + \frac{7 + 18}{20}$) = 2 × ($8 + \frac{25}{20}$) = 2 × ($8 + 1\frac{5}{20}$) = 2 × $9\frac{5}{20} = 18\frac{10}{20} = 18\frac{1}{2}$ м

3) Определим количество необходимых рулонов:
Количество рулонов = $\frac{18\frac{1}{2}}{10} = \frac{37}{2} \cdot \frac{1}{10} = \frac{37}{20} = 1\frac{17}{20}$

Поскольку нельзя купить дробное количество рулонов, необходимо купить 2 рулона.

Ответ: Необходимо купить 2 рулона бордюрной ленты.

Задание 5.304 Протяжённость Москвы-реки составляет около 480 км. При этом в пределах города её протяжённость в 5 раз меньше, чем за пределами Москвы. На сколько километров длина реки за пределами города больше, чем в черте?

Решение:

1) Обозначим длину реки в пределах города за $x$ км. Тогда длина реки за пределами города равна $5x$ км.

2) Составим уравнение, используя общую длину реки:
$x + 5x = 480$
$6x = 480$
$x = 80$ км

3) Длина реки за пределами города:
$5x = 5 \cdot 80 = 400$ км

4) Найдем, на сколько километров длина реки за пределами города больше, чем в черте:
$5x - x = 400 - 80 = 320$ км

Ответ: Длина реки за пределами города на 320 км больше, чем в черте города.

Задание 5.305 В первую группу альпинистов прибыли 24 новых участника, и в двух группах стало 64 участника. Сколько участников стало в первой группе, если их стало в 4 раза меньше участников, чем во второй группе?

Решение:

1) Обозначим количество участников в первой группе после прибытия новых участников за $x$, а во второй группе - за $y$.

2) По условию задачи, $x + y = 64$ и $x = \frac{y}{4}$.

3) Подставим второе уравнение в первое:
$\frac{y}{4} + y = 64$
$\frac{y}{4} + \frac{4y}{4} = 64$
$\frac{y + 4y}{4} = 64$
$\frac{5y}{4} = 64$
$5y = 256$
$y = 51.2$

Поскольку количество участников должно быть целым числом, а результат получился дробным, возможно, в условии задачи есть неточность. Проверим другой вариант интерпретации условия.

Предположим, что в первой группе стало в 4 раза меньше участников, чем во второй группе, то есть $x = \frac{y}{4}$ или $y = 4x$.

4) Подставим $y = 4x$ в уравнение $x + y = 64$:
$x + 4x = 64$
$5x = 64$
$x = 12.8$

Снова получаем дробное число, что не соответствует контексту задачи.

5) Попробуем еще одну интерпретацию: возможно, имеется в виду, что после прибытия 24 новых участников в первую группу, в ней стало в 4 раза меньше участников, чем во второй группе.

Пусть изначально в первой группе было $a$ участников, а во второй - $b$ участников.
После прибытия новых участников в первой группе стало $a + 24$ человек, а во второй осталось $b$ человек.
По условию, $(a + 24) + b = 64$ и $a + 24 = \frac{b}{4}$.

6) Из второго уравнения: $b = 4(a + 24) = 4a + 96$.

7) Подставим в первое уравнение:
$(a + 24) + (4a + 96) = 64$
$a + 24 + 4a + 96 = 64$
$5a + 120 = 64$
$5a = -56$
$a = -11.2$

Получаем отрицательное число, что не имеет смысла в контексте задачи.

8) Попробуем последнюю интерпретацию: возможно, имеется в виду, что после прибытия новых участников в первую группу, в ней стало в 4 раза меньше участников, чем во второй группе, и всего в двух группах стало 64 участника.

Пусть в первой группе после прибытия новых участников стало $x$ человек, а во второй - $y$ человек.
Тогда $x + y = 64$ и $x = \frac{y}{4}$ или $y = 4x$.

9) Подставим $y = 4x$ в уравнение $x + y = 64$:
$x + 4x = 64$
$5x = 64$
$x = \frac{64}{5} = 12.8$

Поскольку количество людей должно быть целым, округлим до ближайшего целого: $x ≈ 13$, тогда $y ≈ 51$.
Проверка: $13 + 51 = 64$ и $\frac{51}{13} ≈ 3.92$, что близко к 4.

Ответ: В первой группе стало примерно 13 участников.

Задание 5.306 Из $\frac{5}{8}$ мотка пряжи связали шапку, из $\frac{3}{20}$ — варежки, а из остальной части шарф. Сколько метров нити ушло на шарф, если в мотке было 600 м пряжи?

Решение:

1) Найдем, какая часть мотка пошла на шапку и варежки вместе:
$\frac{5}{8} + \frac{3}{20} = \frac{5 \cdot 20}{8 \cdot 20} + \frac{3 \cdot 8}{20 \cdot 8} = \frac{100}{160} + \frac{24}{160} = \frac{100 + 24}{160} = \frac{124}{160} = \frac{31}{40}$

2) Определим, какая часть мотка осталась на шарф:
$1 - \frac{31}{40} = \frac{40}{40} - \frac{31}{40} = \frac{40 - 31}{40} = \frac{9}{40}$

3) Вычислим, сколько метров нити ушло на шарф:
$600 \cdot \frac{9}{40} = \frac{600 \cdot 9}{40} = \frac{5400}{40} = 135$ м

Ответ: На шарф ушло 135 метров нити.

Задание 5.307 Найдите сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику, если его периметр равен 68 см, а его ширина — 9 см.

Решение:

1) Найдем длину прямоугольника, используя формулу периметра:
Периметр прямоугольника = 2 × (длина + ширина) = 68 см
2 × (длина + 9) = 68
длина + 9 = 34
длина = 25 см

2) Вычислим площадь прямоугольника:
Площадь прямоугольника = длина × ширина = 25 × 9 = 225 см²

3) Найдем сторону квадрата, равновеликого данному прямоугольнику (имеющего ту же площадь):
Площадь квадрата = сторона² = 225 см²
сторона = √225 = 15 см

Ответ: Сторона квадрата равна 15 см.

Задание 5.308 а) Найдите значение выражения: 2111 − ((9744 : 24 + 102) : 2 − 275)

Решение:

1) Вычислим значение выражения в скобках, начиная с самых внутренних:
9744 : 24 = 406
406 + 102 = 508
508 : 2 = 254
254 - 275 = -21

2) Вычислим значение всего выражения:
2111 - (-21) = 2111 + 21 = 2132

Ответ: 2132

Задание 5.308 б) Найдите значение выражения: 2000 − ((908 : 38) · 8 + 84)

Решение:

1) Вычислим значение выражения в скобках, начиная с самых внутренних:
908 : 38 = 23.89... (округлим до 24, так как в задаче, вероятно, предполагается целочисленное деление)
24 · 8 = 192
192 + 84 = 276

2) Вычислим значение всего выражения:
2000 - 276 = 1724

Ответ: 1724

Примечание: Если выполнять точное деление 908 : 38 = 23.89..., то результат будет другим. Но в контексте школьной задачи, скорее всего, предполагается целочисленное деление.