{
"subject": "Математика",
"grade": 11,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление определенного интеграла с тригонометрической функцией",
"description": "Решение задачи на вычисление определенного интеграла вида ∫x·sin(x)dx на отрезке [0,π]",
"keywords": ["интеграл", "определенный интеграл", "тригонометрия", "интегрирование по частям", "произведение функций"]
}

Давайте решим этот определённый интеграл! 📐

Нам нужно вычислить: $\int\limits_0^\pi x\sin x\,dx$

Решение:
1) Для вычисления используем интегрирование по частям: $\int udv = uv - \int vdu$

2) Пусть:
* $u = x$ (первый множитель)
* $dv = \sin x\,dx$ (второй множитель)

3) Тогда:
* $du = dx$
* $v = -\cos x$

4) Применяем формулу:
$\int\limits_0^\pi x\sin x\,dx = -x\cos x\Big|_0^\pi + \int\limits_0^\pi \cos x\,dx$

5) Вычисляем первую часть:
* $-x\cos x\Big|_0^\pi = -\pi\cos(\pi) - (-0\cos(0))$
* $-\pi\cos(\pi) - 0 = -\pi(-1) = \pi$

6) Вычисляем вторую часть:
* $\int\limits_0^\pi \cos x\,dx = \sin x\Big|_0^\pi$
* $\sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0$

7) Итоговый результат:
$\int\limits_0^\pi x\sin x\,dx = \pi + 0 = \pi$

Ответ: $\pi$

Проверьте, что вы поняли каждый шаг решения! 😊 Если что-то осталось неясным, не стесняйтесь спрашивать.

{
"subject": "Математика",
"grade": 9,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Упрощение выражения с показательной функцией",
"description": "Решение задачи на упрощение выражения вида y = (x^(-n))^(1/7)",
"keywords": ["показательная функция", "степень", "отрицательный показатель", "корень", "упрощение выражений"]
}

Давайте разберем это выражение! 📝

Дано: $y = (x^{-n})^{\frac{1}{7}}$

Решение:
1) При возведении степени в степень показатели перемножаются.
Используем правило: $(a^m)^n = a^{m·n}$

2) В нашем случае:
* Основание: $x^{-n}$
* Показатель: $\frac{1}{7}$

3) Применяем правило:
$y = (x^{-n})^{\frac{1}{7}} = x^{-n · \frac{1}{7}}$

4) Упрощаем показатель:
$x^{-n · \frac{1}{7}} = x^{-\frac{n}{7}}$

Ответ: $y = x^{-\frac{n}{7}}$

Обратите внимание! 🔍
- Минус в показателе степени сохраняется
- Дробь в показателе означает корень: $x^{-\frac{n}{7}}$ - это корень седьмой степени из $x^{-n}$

Теперь выражение представлено в наиболее простом виде! 😊

{
"subject": "Математика",
"grade": 10,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление предела дробно-рациональной функции",
"description": "Решение задачи на нахождение предела функции при x→2 с использованием методов раскрытия неопределенности",
"keywords": ["предел функции", "рациональная дробь", "неопределенность", "раскрытие неопределенности", "алгебраические преобразования"]
}

Давайте решим задачу на вычисление предела! 📊

Найдём: $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3-4x+5}{3x-1}$

Решение:
1) Сначала подставим x = 2, чтобы понять, с чем имеем дело:
* В числителе: $2^3-4·2+5 = 8-8+5 = 5$
* В знаменателе: $3·2-1 = 5$
* Получаем $\frac{5}{5} = 1$

2) Так как мы получили определённое значение (не неопределенность), это и есть значение предела.

3) Проверим правильность:
* Функция непрерывна в точке x = 2
* Числитель и знаменатель определены при x = 2
* Знаменатель не обращается в ноль при x = 2

Ответ: $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3-4x+5}{3x-1} = 1$

Важно отметить! 🔍
- В данном случае нам повезло – не пришлось раскрывать неопределенность
- Предел существует и равен значению функции в точке x = 2
- Функция непрерывна в этой точке

Теперь вы знаете, как находить подобные пределы! 😊

{
"subject": "Математика",
"grade": 10,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление предела рациональной функции при x→2",
"description": "Решение задачи на нахождение предела дробно-рациональной функции с раскрытием неопределенности типа 0/0",
"keywords": ["предел функции", "неопределенность 0/0", "рациональная дробь", "разложение на множители", "алгебраические преобразования"]
}

Давайте найдем предел этой функции! 📝

Дано: $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x^3-8}$

Решение:
1) Подставим x = 2:
* Числитель: $2^2-5·2+6 = 4-10+6 = 0$
* Знаменатель: $2^3-8 = 8-8 = 0$
* Получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$

2) Разложим числитель на множители:
* $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$

3) Разложим знаменатель:
* $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$

4) После разложения имеем:
$\lim\limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$

5) Сократим $(x-2)$:
$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x-3}{x^2+2x+4}$

6) Теперь можно подставить x = 2:
$\frac{2-3}{2^2+2·2+4} = \frac{-1}{12}$

Ответ: $-\frac{1}{12}$

Важно заметить! 🔍
- Мы столкнулись с неопределенностью типа $\frac{0}{0}$
- Для раскрытия неопределенности использовали разложение на множители
- После сокращения общего множителя $(x-2)$ предел стал вычислимым

Теперь вы знаете, как справляться с подобными пределами! 😊

{
"subject": "Математика",
"grade": 10,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление предела рациональной функции при x→3",
"description": "Решение задачи на нахождение предела дробно-рациональной функции с раскрытием неопределенности типа 0/0",
"keywords": ["предел функции", "неопределенность 0/0", "рациональная дробь", "разложение на множители", "теория пределов"]
}

Давайте найдем предел этой функции! 📝

Дано: $\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2+x-12}{x-3}$

Решение:
1) Подставим x = 3:
* Числитель: $3^2+3-12 = 9+3-12 = 0$
* Знаменатель: $3-3 = 0$
* Получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$

2) Разложим числитель на множители:
* $x^2+x-12 = (x+4)(x-3)$

3) После разложения имеем:
$\lim\limits_{x \to 3} \frac{(x+4)(x-3)}{x-3}$

4) Сократим $(x-3)$:
$\lim\limits_{x \to 3} (x+4)$

5) Теперь можно подставить x = 3:
* $3+4 = 7$

Ответ: $7$

Важно заметить! 🔍
- Мы снова встретили неопределенность типа $\frac{0}{0}$
- Разложение числителя на множители помогло нам раскрыть неопределенность
- После сокращения общего множителя $(x-3)$ предел легко вычислился

Такой метод раскрытия неопределенности часто используется в подобных задачах! 😊