Давайте решим задачи по нахождению производных функций поэтапно. 🔍

{
"subject": "Математика",
"url_subject": "math",
"grade": 11,
"lang": "ru",
"title": "Нахождение производных различных функций",
"description": "Решение задач на вычисление производных элементарных, тригонометрических и сложных функций",
"keywords": ["производная", "дифференцирование", "тригонометрические функции", "сложная функция", "математический анализ"]
}

1️⃣ Вариант 1:

1) $y=x^2-6x$
Производная: $y'=(x^2)'-(6x)'=2x-6$

2) $y=\cos x+2x^2$
Производная: $y'=(-\sin x)+(2x^2)'=-\sin x+4x$

3) $y=-\frac{5}{x^6}+\frac{8}{x^4}$
Производная: $y'=(-5)(-6x^{-7})+8(-4x^{-5})=\frac{30}{x^7}-\frac{32}{x^5}$

2️⃣ Вариант 2:

1) $y=x^2\cos x$
Производная (используем правило произведения): $y'=2x\cos x+x^2(-\sin x)$

2) $y=\frac{2x^3}{14x-5}$
Производная (используем правило частного): $y'=\frac{(2x^3)'(14x-5)-2x^3(14x-5)'}{(14x-5)^2}=\frac{6x^2(14x-5)-2x^3(14)}{(14x-5)^2}$

3) $y=(18-x^4)^3$
Производная (используем цепное правило): $y'=3(18-x^4)^2\cdot(-4x^3)=-12x^3(18-x^4)^2$

3️⃣ Вариант 3:

1) $y=6x^3+2x^5-9$
Производная: $y'=18x^2+10x^4$

2) $y=x^4+\sin x$
Производная: $y'=4x^3+\cos x$

3) $y=3^x-\frac{1}{\cos^2x}$
Производная: $y'=3^x\ln3+\frac{2\sin x}{\cos^3x}$

При решении мы использовали основные правила дифференцирования:
- Производная степенной функции
- Производные тригонометрических функций
- Правило произведения
- Правило частного
- Цепное правило
- Производная показательной функции