{
"subject": "Математика",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"lang": "ru",
"title": "Решение интеграла квадратичной функции",
"description": "Пошаговое решение определенного интеграла от квадратичной функции x²-7x+6",
"keywords": ["интеграл", "квадратичная функция", "первообразная", "математический анализ", "определенный интеграл"]
}

Давайте решим этот интеграл пошагово! 📚

Нам нужно найти: $\int \frac{dx}{x^2-7x+6}$

Шаг 1️⃣: Разложим знаменатель на множители
- $x^2-7x+6 = (x-1)(x-6)$ (корни уравнения: x₁=1, x₂=6)

Шаг 2️⃣: Используем метод частичных дробей
- $\frac{1}{(x-1)(x-6)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-6}$
- $1 = A(x-6) + B(x-1)$

Шаг 3️⃣: Найдем коэффициенты A и B
- При x = 1: $1 = A(1-6) + B(0)$ → $1 = -5A$ → $A = -\frac{1}{5}$
- При x = 6: $1 = A(0) + B(5)$ → $1 = 5B$ → $B = \frac{1}{5}$

Шаг 4️⃣: Запишем интеграл в новом виде
- $\int (\frac{-1/5}{x-1} + \frac{1/5}{x-6})dx$

Шаг 5️⃣: Найдем первообразную
- $-\frac{1}{5}\ln|x-1| + \frac{1}{5}\ln|x-6| + C$
- $\frac{1}{5}\ln|\frac{x-6}{x-1}| + C$

Ответ: $\frac{1}{5}\ln|\frac{x-6}{x-1}| + C$

Эта формула позволяет найти все первообразные данной функции! 🎯