Задание 4
Найти интеграл: [ \int \sqrt{2x+1}dx ]

Решение:
1) Для нахождения этого интеграла используем метод подстановки.

2) Пусть (t = \sqrt{2x+1}), тогда:
* (t^2 = 2x+1)
* (x = \frac{t^2-1}{2})
* (dx = tdt)

3) Подставляем в исходный интеграл:
[ \int \sqrt{2x+1}dx = \int t \cdot tdt = \int t^2dt ]

4) Интегрируем:
[ \int t^2dt = \frac{t^3}{3} + C ]

5) Возвращаемся к исходной переменной:
[ \frac{(\sqrt{2x+1})^3}{3} + C ]

Ответ: [ \frac{(\sqrt{2x+1})^3}{3} + C ]

Задание 4: Подробное решение интеграла [ \int \sqrt{2x+1}dx ]

📝 Почему используем метод подстановки?
В данном интеграле у нас иррациональное выражение (корень). Метод подстановки поможет избавиться от иррациональности и упростить интеграл.

🔍 Пошаговое решение:

1️⃣ Выбор подстановки
* Вводим замену: (t = \sqrt{2x+1})
* Это позволит избавиться от корня в интеграле

2️⃣ Последовательность преобразований
* Из (t = \sqrt{2x+1}) возводим обе части в квадрат:
* (t^2 = 2x+1)
* Выражаем x:
* (2x = t^2-1)
* (x = \frac{t^2-1}{2})

3️⃣ Находим dx
* Дифференцируем выражение для x:
* (dx = \frac{2t}{2}dt = tdt)

4️⃣ Преобразование интеграла
* Исходное выражение (\sqrt{2x+1}) теперь равно t
* Подставляем все найденные выражения:
[ \int \sqrt{2x+1}dx = \int t \cdot tdt = \int t^2dt ]

5️⃣ Интегрирование
* Используем формулу интегрирования степенной функции:
* (\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C), где n = 2
* Получаем: (\int t^2dt = \frac{t^3}{3} + C)

6️⃣ Возвращение к x
* Подставляем обратно (t = \sqrt{2x+1}):
[ \frac{(\sqrt{2x+1})^3}{3} + C ]

✅ Проверка:
Можно проверить решение, взяв производную от полученной функции - должны получить подынтегральное выражение.

📊 Пояснение к графику:
* Синяя линия показывает подынтегральную функцию (\sqrt{2x+1})
* Зеленая линия - полученную первообразную (\frac{(\sqrt{2x+1})^3}{3})
* График наглядно демонстрирует, что первообразная (зеленая линия) возрастает быстрее, чем подынтегральная функция (синяя линия)
* Область определения функции: (x \geq -\frac{1}{2}), так как под корнем выражение должно быть неотрицательным

💡 Важно помнить:
* При решении интегралов с корнями часто помогает замена переменной, где новая переменная равна корню
* После замены важно не забыть вернуться к исходной переменной
* Полученный ответ можно проверить дифференцированием

Задание 1
На изображении видна часть математического выражения, которое выглядит как:
[ \frac{x-2}{x} + \frac{3}{x+1} ]

Решение:
1) Для сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю.

2) Найдем общий знаменатель:
* Знаменатели: x и (x+1)
* НОК(x, x+1) = x(x+1)

3) Преобразуем первую дробь:
[ \frac{x-2}{x} \cdot \frac{x+1}{x+1} = \frac{(x-2)(x+1)}{x(x+1)} ]

4) Преобразуем вторую дробь:
[ \frac{3}{x+1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{3x}{x(x+1)} ]

5) Раскроем скобки в числителе первой дроби:
* (x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2

6) Складываем дроби:
[ \frac{x^2 - x - 2}{x(x+1)} + \frac{3x}{x(x+1)} = \frac{x^2 - x - 2 + 3x}{x(x+1)} = \frac{x^2 + 2x - 2}{x(x+1)} ]

Ответ: [ \frac{x^2 + 2x - 2}{x(x+1)} ]