{
"subject": "Математика",
"grade": 11,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Исследование функции на непрерывность: рациональная функция",
"description": "Подробный разбор исследования на непрерывность рациональной функции y=(x²-6x+8)/(x-4)",
"keywords": ["непрерывность функции", "рациональная функция", "точки разрыва", "предел функции", "математический анализ"]
}

Давайте решим эту задачу пошагово:

1) Функция $y = \frac{x^2-6x+8}{x-4}$ является рациональной. Она будет непрерывна во всех точках своей области определения.

2) Найдем область определения функции:
* Знаменатель не должен равняться нулю
* $x-4 \neq 0$
* $x \neq 4$
* Таким образом, $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$

3) В точке $x = 4$ функция имеет точку разрыва. Исследуем её характер:
* Найдем пределы слева и справа при $x \to 4$

4) Преобразуем числитель:
* $x^2-6x+8 = (x-4)(x-2)$
* Теперь функция имеет вид: $y = \frac{(x-4)(x-2)}{x-4} = x-2$ при $x \neq 4$

5) Находим пределы:
* $\lim_{x \to 4^-} (x-2) = 2$
* $\lim_{x \to 4^+} (x-2) = 2$

6) Так как оба односторонних предела существуют и равны между собой, это точка устранимого разрыва.

Вывод: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$, а в точке $x = 4$ имеет устранимый разрыв.

Для наглядности представим график функции: