{
"subject": "Математика",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Решение интеграла с различными степенными функциями",
"description": "Пошаговое решение неопределенного интеграла, содержащего степенные функции и дробные выражения",
"keywords": ["интеграл", "первообразная", "степенные функции", "дробные выражения", "математический анализ"]
}

Давайте решим этот интеграл пошагово! 📚

Нам нужно найти: $\int (6x^5 + \frac{6}{x^4} + 8 - \frac{9}{x})dx$

Шаг 1️⃣: Разобьем интеграл на сумму интегралов:
$\int 6x^5dx + \int \frac{6}{x^4}dx + \int 8dx - \int \frac{9}{x}dx$

Шаг 2️⃣: Найдем каждый интеграл отдельно:

1) $\int 6x^5dx = 6 \cdot \frac{x^6}{6} = x^6$ (используем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$)

2) $\int \frac{6}{x^4}dx = 6 \int x^{-4}dx = 6 \cdot (-\frac{1}{3x^3}) = -\frac{2}{x^3}$

3) $\int 8dx = 8x$

4) $-\int \frac{9}{x}dx = -9\ln|x|$ (используем формулу $\int \frac{1}{x}dx = \ln|x|$)

Шаг 3️⃣: Соберем все части вместе:

$\int (6x^5 + \frac{6}{x^4} + 8 - \frac{9}{x})dx = x^6 - \frac{2}{x^3} + 8x - 9\ln|x| + C$

Ответ: $x^6 - \frac{2}{x^3} + 8x - 9\ln|x| + C$, где C - константа интегрирования.