{
"subject": "Математический анализ",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление пределов функций",
"description": "Подробное решение задач на вычисление пределов функций различных типов, включая алгебраические и иррациональные выражения",
"keywords": ["предел функции", "математический анализ", "непрерывность функции", "числовые последовательности", "иррациональные выражения", "алгебраические пределы"]
}

Давайте разберем каждый предел по шагам:

1) $\lim\limits_{x \to 1}(3x^2-2x+7)$

Шаги решения:
1. Это непрерывная функция, поэтому можно просто подставить x = 1
2. $3(1)^2-2(1)+7$
3. $3-2+7 = 8$
Ответ: 8

2) $\lim\limits_{x \to 2}\frac{x^2+14x-32}{x^2-6x+8}$

Шаги решения:
1. Проверяем знаменатель при x = 2: $(2)^2-6(2)+8 = 4-12+8 = 0$
2. В числителе при x = 2: $(2)^2+14(2)-32 = 4+28-32 = 0$
3. Имеем неопределенность вида 0/0
4. Разложим числитель и знаменатель на множители:
- Знаменатель: $x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)$
- Числитель: $x^2+14x-32 = (x+16)(x-2)$
5. Сокращаем $(x-2)$: $\lim\limits_{x \to 2}\frac{x+16}{x-4} = -\frac{18}{-2} = 9$

Ответ: 9

3) $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}$

Шаги решения:
1. Преобразуем числитель: $\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}$
2. Делим числитель и знаменатель на $\sqrt{x}$: $2\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}$
3. При x → +∞, $\frac{1}{x} \to 0$, поэтому $\sqrt{1+\frac{1}{x}} \to 1$

Ответ: 2

4) $\lim\limits_{x \to 8}\frac{\sqrt{9+2x-5}}{\sqrt[3]{x-2}}$

Шаги решения:
1. Преобразуем числитель: $\frac{\sqrt{2x+4}}{\sqrt[3]{x-2}}$
2. Подставляем x = 8:
$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt[3]{6}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt[3]{6}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{20}}{\sqrt[3]{6}}$

{
"subject": "Математический анализ",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Производные функций и их применение",
"description": "Решение задач на нахождение производных функций, уравнения касательной и частных производных",
"keywords": ["производная функции", "уравнение касательной", "сложная функция", "частные производные", "вторая производная"]
}

Давайте решим каждую задачу пошагово:

1) Найти уравнение касательной в точке x₀ = 1:

Шаги решения:
1. Найдем значение функции в точке x₀ = 1:
y(1) = 1⁴ - 3·1³ + 2·1 - 1 = 1 - 3 + 2 - 1 = -1
2. Найдем производную функции:
y' = 4x³ - 9x² + 2
3. Вычислим значение производной при x₀ = 1:
y'(1) = 4 - 9 + 2 = -3
4. Запишем уравнение касательной по формуле y - y₀ = y'(x₀)(x - x₀):
y - (-1) = -3(x - 1)
5. Окончательно: y = -3x + 2

Ответ: y = -3x + 2

2) Найти производную $\left(e^{e^x}\right)'$:

1. Используем правило цепной производной
2. Пусть u = e^x, тогда наша функция: e^u
3. (e^u)' = e^u · u'
4. u' = e^x
5. Итак: $(e^{e^x})' = e^{e^x} \cdot e^x$

Ответ: $e^{e^x} \cdot e^x$

3) Найти вторую производную $(sin(x^2))''$:

1. Найдем первую производную, используя цепное правило:
   $(sin(x^2))' = cos(x^2) \cdot (x^2)' = 2x\cos(x^2)$
2. Найдем производную от полученного выражения:
   $(2x\cos(x^2))' = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$

Ответ: $2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$

4) Найти частные производные $z = 2y + e^{x^2-y} + 1$:

1. Частная производная по x (∂z/∂x):
   $\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^2-y} \cdot 2x$

2. Частная производная по y (∂z/∂y):
   $\frac{\partial z}{\partial y} = 2 - e^{x^2-y}$

Ответ:
$\frac{\partial z}{\partial x} = 2xe^{x^2-y}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = 2 - e^{x^2-y}$

{
"subject": "Математический анализ",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление интегралов различными методами",
"description": "Решение задач на вычисление неопределённых и определённых интегралов, включая применение различных методов интегрирования",
"keywords": ["интегралы", "метод подведения под знак дифференциала", "интегрирование по частям", "формула Ньютона-Лейбница", "площадь криволинейной трапеции"]
}

Разберём каждую задачу пошагово:

1) $\int x(x+2)^9dx$

Шаги решения:
1. Сделаем замену: пусть u = x + 2, тогда x = u - 2, dx = du
2. Интеграл примет вид: $\int (u-2)u^9du$
3. Раскроем скобки: $\int (u^{10}-2u^9)du$
4. Интегрируем почленно: $\frac{u^{11}}{11}-2\frac{u^{10}}{10}+C$
5. Возвращаемся к x: $\frac{(x+2)^{11}}{11}-2\frac{(x+2)^{10}}{10}+C$

Ответ: $\frac{(x+2)^{11}}{11}-2\frac{(x+2)^{10}}{10}+C$

2) $\int x^2e^xdx$

Используем интегрирование по частям: $\int udv=uv-\int vdu$
1. Пусть u = x², dv = e^xdx
2. Тогда du = 2xdx, v = e^x
3. $\int x^2e^xdx = x^2e^x - \int 2xe^xdx$
4. Снова интегрируем по частям:
$\int 2xe^xdx = 2(xe^x - \int e^xdx) = 2xe^x - 2e^x$
5. Итого: $x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$

Ответ: $x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$

3) $\int_e^{e^2} \frac{dx}{x\ln x}$

1. Сделаем замену: t = ln x
2. При x = e: t = 1
   При x = e²: t = 2
3. dx = e^tdt
4. Подставляем: $\int_1^2 \frac{e^t}{e^t\cdot t}dt = \int_1^2 \frac{dt}{t}$
5. $[\ln|t|]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$

Ответ: ln 2

4) $\int_0^3 (x^2-2x)dx$

1. Найдём первообразную: $\int(x^2-2x)dx = \frac{x^3}{3}-x^2+C$
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
   $[\frac{x^3}{3}-x^2]_0^3$
3. Подставим пределы:
   $(\frac{27}{3}-9)-(0-0) = 9-9 = 0$

Ответ: 0 (площадь равна нулю, так как график функции частично находится ниже оси Ox, и положительная и отрицательная площади компенсируют друг друга)

Для задачи о касательной к функции y = x⁴ - 3x³ + 2x - 1 создадим наглядную иллюстрацию:

<!-- Подписи осей -->
<text x="260" y="150" font-size="12">x</text>
<text x="155" y="45" font-size="12">y</text>

<!-- График функции (упрощённо) -->
<path d="M 100,200 Q 150,180 170,150 T 250,50" stroke="blue" fill="none" stroke-width="2"/>

<!-- Касательная -->
<line x1="120" y1="130" x2="180" y2="190" stroke="red" stroke-width="2"/>

<!-- Точка касания -->
<circle cx="150" cy="160" r="3" fill="red"/>

<!-- Пояснения -->
<text x="160" y="180" font-size="10">y = -3x + 2</text>
<text x="120" y="140" font-size="10">(1, -1)</text>

Давайте проверим решение первой задачи:
1. Функция: y = x⁴ - 3x³ + 2x - 1
2. В точке x₀ = 1:
- y(1) = 1 - 3 + 2 - 1 = -1 ✓
- y'(x) = 4x³ - 9x² + 2 ✓
- y'(1) = 4 - 9 + 2 = -3 ✓
3. Уравнение касательной:
y - (-1) = -3(x - 1)
y = -3x + 2 ✓

На графике:
- Синяя линия - исходная функция
- Красная линия - касательная в точке x₀ = 1
- Красная точка - точка касания (1, -1)

График наглядно показывает:
1. Точку касания (1, -1)
2. Наклон касательной (угловой коэффициент -3)
3. Положение касательной относительно функции

Проверка подтверждает корректность всех вычислений и полученного ответа y = -3x + 2.