👋 Привет! Давайте решим неравенство.

Задание 14

Решить неравенство: $\frac{4x^2 + 4x + 1}{2x^2 - 5x - 3} \ge 0$.

Решение:

1. Анализ числителя:
   Числитель $4x^2 + 4x + 1$ является полным квадратом: $(2x + 1)^2$. Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, то $(2x + 1)^2 \ge 0$ для всех $x$. Однако, нам нужно исключить значения $x$, при которых числитель равен нулю, так как это может повлиять на знак неравенства.

2. Находим нули числителя:
   $(2x + 1)^2 = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.

3. Анализ знаменателя:
   Знаменатель $2x^2 - 5x - 3$ нужно разложить на множители, чтобы определить его знаки.

4. Разложение знаменателя на множители:
   $2x^2 - 5x - 3 = 0$. Найдем корни квадратного уравнения.
   $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
   $x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
   $x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
   Таким образом, $2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x + 1)$.

5. Запись неравенства с учетом разложения:
   $\frac{(2x + 1)^2}{(x - 3)(2x + 1)} \ge 0$.

6. Упрощение неравенства:
   Обратите внимание, что $(2x+1)$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Однако, мы должны исключить $x = -\frac{1}{2}$ из решения, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. При $x \ne -\frac{1}{2}$ можно сократить $(2x + 1)$:
   $\frac{2x + 1}{x - 3} \ge 0$.

7. Решение упрощенного неравенства:
   Рассмотрим два случая:
   * $2x + 1 \ge 0$ и $x - 3 > 0$ (знаменатель не может быть равен нулю).
   $x \ge -\frac{1}{2}$ и $x > 3$. Пересечение этих условий: $x > 3$.
   * $2x + 1 \le 0$ и $x - 3 < 0$.
   $x \le -\frac{1}{2}$ и $x < 3$. Пересечение этих условий: $x \le -\frac{1}{2}$.

8. Учет исключения:
   Мы исключили $x = -\frac{1}{2}$, но в исходном неравенстве числитель может быть равен нулю. Однако, при $x = -\frac{1}{2}$ знаменатель также равен нулю, поэтому это значение исключается.

9. Финальное решение:
   $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (3; +\infty)$.