Решение уравнения

🧮 Шаг 1: Преобразование уравнения

Преобразуем уравнение $\frac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11 \sin x}} = 0$

🔍 Условия решения:
- $\sin x \neq 0$
- $\sqrt{11 \sin x} \neq 0$

✏️ Шаг 2: Анализ знаменателя

Знаменатель $\sqrt{11 \sin x}$ должен быть определён, значит:
$11 \sin x \geq 0$

🎯 Шаг 3: Условие равенства дроби нулю

Чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю:

$9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x} = 0$

📝 Шаг 4: Преобразование

$9^{\sin 2x} = 3^{2\sqrt{2}\sin x}$

$\sin 2x = 2\sqrt{2}\sin x$

🔢 Шаг 5: Тригонометрическое тождество

$2\sin x \cos x = 2\sqrt{2}\sin x$

$\cos x = \sqrt{2}$

❗ Шаг 6: Решение

$\cos x = \sqrt{2}$ невозможно, так как $|\cos x| \leq 1$

Вывод: Уравнение не имеет решений.

Поиск корней на отрезке $[\frac{7\pi}{2}; 5\pi]$

🔍 Так как в предыдущем решении мы доказали, что уравнение не имеет решений, то на указанном отрезке также нет корней.

Ответ: Корней нет.

Подробное решение уравнения

🧮 Шаг 1: Анализ исходного уравнения

Рассмотрим уравнение: $\frac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11 \sin x}} = 0$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Для существования выражения необходимо, чтобы знаменатель был отличен от нуля:
- $\sqrt{11 \sin x}$ должно быть определено, значит $11 \sin x ≥ 0$
- Следовательно, $\sin x ≥ 0$

✏️ Шаг 2: Преобразование числителя

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю (при ненулевом знаменателе):

$9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x} = 0$

Преобразуем это выражение. Заметим, что $9 = 3^2$, поэтому:

$9^{\sin 2x} = (3^2)^{\sin 2x} = 3^{2\sin 2x}$

Теперь уравнение принимает вид:

$3^{2\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x} = 0$

🔢 Шаг 3: Применение свойств показательной функции

Поскольку показательная функция $3^t$ строго возрастает, то для равенства $3^a = 3^b$ необходимо и достаточно, чтобы $a = b$. Применим это свойство:

$3^{2\sin 2x} = 3^{2\sqrt{2}\sin x}$

Это равносильно:

$2\sin 2x = 2\sqrt{2}\sin x$

Сократим на 2:

$\sin 2x = \sqrt{2}\sin x$

📐 Шаг 4: Применение тригонометрической формулы

Используем формулу двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

Подставим в уравнение:

$2\sin x \cos x = \sqrt{2}\sin x$

🔍 Шаг 5: Упрощение уравнения

Если $\sin x = 0$, то обе части уравнения равны нулю, и это решение. Однако, при $\sin x = 0$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль, что недопустимо. Поэтому $\sin x ≠ 0$.

При $\sin x ≠ 0$ можем разделить обе части уравнения на $\sin x$:

$2\cos x = \sqrt{2}$

Отсюда:

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

❗ Шаг 6: Проверка решения

Значение $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} ≈ 0.7071$ допустимо, так как $|\cos x| ≤ 1$.

Это соответствует углам $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Но нам нужно учесть условие $\sin x ≥ 0$ из ОДЗ. Поэтому подходят только значения $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Вывод: Уравнение имеет решения $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число, при условии, что $\sin x > 0$.

Дополнительные пояснения к решению

📌 Важное уточнение по ОДЗ

В исходном уравнении $\frac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11 \sin x}} = 0$ знаменатель должен быть определён и отличен от нуля:

• $\sqrt{11 \sin x}$ определено при $\sin x \geq 0$
• Для существования дроби необходимо $\sin x > 0$

🔄 Проверка полученных решений

Мы получили, что $\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$, что соответствует углам $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Учитывая условие $\sin x > 0$, нам подходят только:
- $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ (в первой четверти)
- $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ (во второй четверти)

Проверим эти решения, подставив их в исходное уравнение:

Для $x = \frac{\pi}{4}$:
- $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ ✓
- $\sin 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ ✓
- $9^{\sin 2x} = 9^1 = 9$ ✓
- $3^{2\sqrt{2}\sin x} = 3^{2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = 3^{2} = 9$ ✓

Для $x = \frac{3\pi}{4}$:
- $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ ✓
- $\sin 2 \cdot \frac{3\pi}{4} = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$ ✓
- $9^{\sin 2x} = 9^{-1} = \frac{1}{9}$ ✓
- $3^{2\sqrt{2}\sin x} = 3^{2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = 3^{2} = 9$ ✗

При проверке обнаружилась ошибка! Для $x = \frac{3\pi}{4}$ числитель не обращается в ноль.

🔍 Уточнение решения

При $x = \frac{3\pi}{4}$:
- $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
- $\sin 2 \cdot \frac{3\pi}{4} = \sin \frac{6\pi}{4} = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$

Подставляя в уравнение $\sin 2x = \sqrt{2}\sin x$:
$-1 \neq \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$

Значит, $x = \frac{3\pi}{4}$ не является решением.

Окончательный вывод: Уравнение имеет решения вида $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Детальное решение уравнения $\frac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11 \sin x}} = 0$

📋 Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для корректного решения уравнения необходимо определить ОДЗ:

1. Знаменатель не должен равняться нулю: $\sqrt{11 \sin x} \neq 0$
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $11 \sin x \geq 0$

Из второго условия следует: $\sin x \geq 0$, так как $11 > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $\sin x > 0$ (строгое неравенство, так как при $\sin x = 0$ знаменатель обращается в ноль).

🔍 Шаг 2: Преобразование уравнения

Для того чтобы дробь равнялась нулю при ненулевом знаменателе, числитель должен быть равен нулю:

$9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x} = 0$

Преобразуем первое слагаемое, используя свойство степеней:
$9 = 3^2$, поэтому $9^{\sin 2x} = (3^2)^{\sin 2x} = 3^{2\sin 2x}$

Уравнение принимает вид:
$3^{2\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x} = 0$

Вынесем общий множитель:
$3^{2\sqrt{2}\sin x}(3^{2\sin 2x - 2\sqrt{2}\sin x} - 1) = 0$

Поскольку $3^{2\sqrt{2}\sin x} > 0$ при любом значении $x$ (как положительное число в положительной степени), то:
$3^{2\sin 2x - 2\sqrt{2}\sin x} - 1 = 0$

$3^{2\sin 2x - 2\sqrt{2}\sin x} = 1$

Показательная функция $3^t$ равна 1 только при $t = 0$, поэтому:
$2\sin 2x - 2\sqrt{2}\sin x = 0$

$\sin 2x - \sqrt{2}\sin x = 0$

$\sin 2x = \sqrt{2}\sin x$

📐 Шаг 3: Применение тригонометрических формул

Используем формулу двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$

Подставляем в уравнение:
$2\sin x \cos x = \sqrt{2}\sin x$

Поскольку мы находимся в ОДЗ, где $\sin x > 0$, можем разделить обе части уравнения на $\sin x$:
$2\cos x = \sqrt{2}$

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

🧮 Шаг 4: Нахождение решений

Значение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствует углам $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Учитывая условие ОДЗ $\sin x > 0$, проверим каждое потенциальное решение:

1. $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
   - $\sin(\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ ✓

2. $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
   - $\sin(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ ✗

3. $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$:
   - $\sin(\frac{7\pi}{4} + 2\pi n) = \sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ ✗

✅ Шаг 5: Проверка решения

Проверим решение $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:

1. $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
2. $\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
3. $\sqrt{2} \cdot \sin(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$

Действительно, $\sin(2x) = \sqrt{2} \cdot \sin(x)$ при $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Подставим в исходное уравнение:
- $9^{\sin 2x} = 9^1 = 9$
- $3^{2\sqrt{2}\sin x} = 3^{2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = 3^2 = 9$
- $9 - 9 = 0$ ✓

📝 Итоговый ответ

Решениями уравнения являются значения $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

🔄 Дополнительные пояснения и проверка решения

Давайте еще раз проверим наше решение, используя другой подход для большей уверенности.

Альтернативный метод решения

Вернемся к уравнению $\sin 2x = \sqrt{2}\sin x$.

Используя формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:

$2\sin x \cos x = \sqrt{2}\sin x$

Если $\sin x = 0$, то обе части уравнения равны нулю, и это потенциальное решение. Однако, при $\sin x = 0$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль, поэтому $\sin x \neq 0$.

При $\sin x \neq 0$ делим обе части уравнения на $\sin x$:

$2\cos x = \sqrt{2}$

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это значение косинуса соответствует углам $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Учитывая условие ОДЗ $\sin x > 0$, проверяем:

1. При $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$: $\sin(\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$ ✓
2. При $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$: $\sin(-\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$ ✗

Таким образом, решениями уравнения являются значения $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Проверка решения в исходном уравнении

Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в исходное уравнение $\frac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11 \sin x}} = 0$:

1. $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
2. $\sin 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$
3. $9^{\sin 2x} = 9^1 = 9$
4. $3^{2\sqrt{2}\sin x} = 3^{2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = 3^2 = 9$
5. Числитель: $9 - 9 = 0$

Таким образом, числитель равен нулю, что подтверждает, что $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ является решением исходного уравнения.

Важные замечания

1. Свойство показательной функции: Мы использовали свойство, что если $a > 0$ и $a \neq 1$, то уравнение $a^f(x) = a^g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

2. Формула двойного угла: Мы применили формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, которая является одной из основных тригонометрических формул.

3. Область допустимых значений: Важно было учесть ОДЗ $\sin x > 0$, которая существенно ограничила множество решений.

4. Периодичность решений: Из-за периодичности тригонометрических функций решения имеют вид $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Итоговый ответ: Решениями уравнения $\frac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11 \sin x}} = 0$ являются значения $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

Решение задачи б) Нахождение корней на отрезке $[\frac{7\pi}{2}; 5\pi]$

🔍 Шаг 1: Анализ отрезка

Напомним, что решениями уравнения являются значения $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ - целое число.

📋 Шаг 2: Определение подходящих значений $n$

Найдем значения $n$, при которых $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ попадает в отрезок $[\frac{7\pi}{2}; 5\pi]$:

$\frac{7\pi}{2} \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq 5\pi$

🧮 Шаг 3: Преобразование неравенств

1. Левое неравенство:
   $\frac{7\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \leq 2\pi n$
   $\frac{13\pi}{4} \leq 2\pi n$
   $n \geq \frac{13\pi}{8\pi} = \frac{13}{8}$

2. Правое неравенство:
   $\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq 5\pi$
   $2\pi n \leq 5\pi - \frac{\pi}{4}$
   $2\pi n \leq \frac{19\pi}{4}$
   $n \leq \frac{19}{8}$

📝 Шаг 4: Определение целых значений $n$

Из полученных неравенств:
- Минимальное целое $n = 2$
- Максимальное целое $n = 2$

🎯 Шаг 5: Нахождение корней

При $n = 2$:
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 2 = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$

✅ Проверка

Проверим, что $\frac{17\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[\frac{7\pi}{2}; 5\pi]$:
- $\frac{7\pi}{2} = 3.5\pi \approx 10.995$
- $\frac{17\pi}{4} = 4.25\pi \approx 13.345$
- $5\pi \approx 15.708$

$\frac{17\pi}{4}$ действительно находится внутри указанного отрезка.

📌 Ответ

На отрезке $[\frac{7\pi}{2}; 5\pi]$ единственный корень: $x = \frac{17\pi}{4}$.