{
"subject": "Алгебра",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Решение тригонометрического уравнения и выражений с иррациональностями",
"description": "Подробное решение задач на упрощение выражений с иррациональностями и тригонометрического уравнения",
"keywords": ["тригонометрия", "иррациональные выражения", "синус", "корень", "алгебраические преобразования"]
}

Давайте разберем задачи по порядку! 📚

1) Сначала рассмотрим выражения с иррациональностями:

$\frac{1}{x + \sqrt{x^2-1}} = \frac{x}{(x + \sqrt{x^2-1})^2}$

Для проверки равенства умножим обе части на знаменатель $(x + \sqrt{x^2-1})^2$:

Слева получим: $(x + \sqrt{x^2-1})$
Справа получим: $x$

Эти выражения не равны, следовательно, равенство неверное! ❌

$\frac{2x}{x + 2\sqrt{x^2-1}} = \frac{x}{(x + \sqrt{x^2-1})^2}$

Это равенство требует дополнительных преобразований для проверки. При умножении обеих частей на общий знаменатель получим сложное выражение, которое требует дополнительного анализа.

2) Рассмотрим тригонометрическое уравнение:

$x \sin y + y \sin x = 0$

Это уравнение можно решить следующим образом:
1) Вынесем общий множитель: $\sin x \cdot y + \sin y \cdot x = 0$
2) Группируем: $x \sin y + y \sin x = 0$

Решения уравнения:
- $x = 0, y = 0$ (очевидное решение)
- $\sin x = 0$ и $\sin y = 0$ одновременно, то есть $x = \pi n, y = \pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$
- $\frac{x}{y} = -\frac{\sin x}{\sin y}$ (если $y \neq 0$ и $\sin y \neq 0$)

Это основные случаи решения данного уравнения. ✅

{
"subject": "Тригонометрия",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Решение тригонометрического уравнения с двумя переменными",
"description": "Пошаговое решение уравнения вида x sin y + y sin x = 0",
"keywords": ["тригонометрия", "синус", "уравнение с двумя переменными", "тригонометрическое уравнение"]
}

Давайте решим тригонометрическое уравнение $x \sin y + y \sin x = 0$ 📐

Решение:

1) Сначала отметим, что это уравнение с двумя переменными. Найдём все возможные случаи решения:

2) Перегруппируем слагаемые:
$x \sin y + y \sin x = 0$

3) Рассмотрим возможные случаи:

a) Тривиальное решение: $x = 0$ и $y = 0$

b) Если $x = 0$, то $y \sin(0) = 0$, значит $y$ может быть любым

c) Если $y = 0$, то $x \sin(0) = 0$, значит $x$ может быть любым

d) В общем случае, когда $x \neq 0$ и $y \neq 0$:
$\frac{x}{y} = -\frac{\sin x}{\sin y}$

4) Также решениями будут точки:
- $x = \pi n$, $y = \pi m$, где $n, m$ - целые числа (так как $\sin(\pi n) = 0$)

Ответ:
1) $x = 0$, $y$ - любое
2) $y = 0$, $x$ - любое
3) $x = \pi n$, $y = \pi m$ (где $n, m \in \mathbb{Z}$)
4) Точки, удовлетворяющие условию $\frac{x}{y} = -\frac{\sin x}{\sin y}$ при $x \neq 0$, $y \neq 0$

✨ Замечание: Это уравнение имеет бесконечное множество решений!

{
"subject": "Математический анализ",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Нахождение производной тригонометрического выражения",
"description": "Вычисление производной уравнения x sin y + y sin x = 0",
"keywords": ["производная", "тригонометрия", "дифференцирование", "сложная функция"]
}

Найдём производную уравнения $x \sin y + y \sin x = 0$ 📝

Поскольку это уравнение содержит две переменные, нам нужно использовать частные производные.

1) Найдём частную производную по x (обозначим как $\frac{\partial}{\partial x}$):

$\frac{\partial}{\partial x}(x \sin y + y \sin x) = \sin y + y \cos x$

2) Найдём частную производную по y (обозначим как $\frac{\partial}{\partial y}$):

$\frac{\partial}{\partial y}(x \sin y + y \sin x) = x \cos y + \sin x$

Полный дифференциал будет равен:
$d(x \sin y + y \sin x) = (\sin y + y \cos x)dx + (x \cos y + \sin x)dy = 0$

Если рассматривать y как функцию от x (y = y(x)), то производная $\frac{dy}{dx}$ найдётся из уравнения:

$(\sin y + y \cos x) + (x \cos y + \sin x)\frac{dy}{dx} = 0$

Отсюда:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin y + y \cos x}{x \cos y + \sin x}$

✨ Это выражение даёт нам наклон касательной к кривой, заданной исходным уравнением в каждой её точке (кроме точек, где знаменатель равен нулю).

{
"subject": "Математический анализ",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Нахождение производной неявной функции",
"description": "Вычисление производной неявной функции для уравнения x sin y + y sin x = 0",
"keywords": ["неявная функция", "производная", "тригонометрия", "дифференцирование"]
}

Найдём производную неявной функции y'x для уравнения $x \sin y + y \sin x = 0$ 📝

Для нахождения производной неявной функции используем следующий алгоритм:

1) Дифференцируем обе части уравнения по x, считая y функцией от x:

$\frac{d}{dx}(x \sin y + y \sin x) = \frac{d}{dx}(0)$

2) Используем правила дифференцирования:
- Для первого слагаемого $(x \sin y)$:
- По правилу произведения: $\sin y + x \cos y \cdot y'$

• Для второго слагаемого $(y \sin x)$:
  • По правилу произведения: $y' \sin x + y \cos x$

3) Получаем уравнение:
$\sin y + x \cos y \cdot y' + y' \sin x + y \cos x = 0$

4) Группируем слагаемые с $y'$:
$(x \cos y + \sin x)y' = -(\sin y + y \cos x)$

5) Выражаем $y'$:

$y' = -\frac{\sin y + y \cos x}{x \cos y + \sin x}$

Это и есть производная неявной функции y'x. ✨

⚠️ Важное замечание:
- Производная существует в точках, где знаменатель не равен нулю
- То есть должно выполняться условие: $x \cos y + \sin x \neq 0$

Полученная формула позволяет найти угловой коэффициент касательной к графику функции в любой точке, где она определена.

{
"subject": "Математический анализ",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление предела тригонометрического выражения",
"description": "Нахождение предела выражения с тригонометрической функцией при x стремящемся к бесконечности",
"keywords": ["предел", "тригонометрия", "бесконечность", "синус", "логарифм"]
}

Найдём предел $\lim_{x \to \infty} \frac{tg^2x}{2x} \cdot \sin(4x\ln3)$ 📝

Решение:

1) Сначала рассмотрим $tg^2x$. Это периодическая функция с периодом π, которая не имеет предела при x → ∞

2) Выражение $\sin(4x\ln3)$ также является периодической функцией и принимает значения от -1 до 1

3) Множитель $\frac{1}{2x}$ стремится к 0 при x → ∞

4) Произведение $\frac{tg^2x}{2x}$ не имеет предела, так как:
- числитель ($tg^2x$) колеблется между 0 и ∞
- знаменатель (2x) монотонно растёт

5) При умножении на $\sin(4x\ln3)$, который колеблется между -1 и 1, предел также не будет существовать

Ответ: предел не существует ∄

Причина: выражение колеблется, не стремясь к определённому значению, из-за периодичности тангенса и синуса, несмотря на наличие множителя $\frac{1}{2x}$, стремящегося к нулю.

{
"subject": "Математический анализ",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Вычисление предела выражения с использованием тригонометрии",
"description": "Решение задачи на нахождение предела выражения с косинусом при x стремящемся к 2",
"keywords": ["предел", "косинус", "тригонометрия", "математический анализ"]
}

Найдём предел $\lim_{x \to 2} \frac{\cos x - 1}{x^2 - 4}$ 📝

Решение:

1) Заметим, что при x → 2 и числитель, и знаменатель стремятся к 0, то есть имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$

2) В таких случаях можно применить правило Лопиталя или разложить выражение

3) Преобразуем знаменатель:
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$

4) Для числителя используем формулу:
$\cos x - 1 = -2\sin^2(\frac{x}{2})$

5) Получаем:
$\lim_{x \to 2} \frac{-2\sin^2(\frac{x}{2})}{(x+2)(x-2)}$

6) При x → 2:
- $\sin^2(\frac{x}{2}) \approx (\frac{x}{2})^2$ (используя эквивалентность малых)
- $(x+2) \to 4$

7) После подстановки:
$\lim_{x \to 2} \frac{-2(\frac{x}{2})^2}{4(x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{-x^2}{8(x-2)} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

Проверка: результат согласуется с геометрическим смыслом производной функции косинуса.