{
"subject": "Математика",
"grade": 11,
"lang": "ru",
"url_subject": "math",
"title": "Приращение функции и производные в математическом анализе",
"description": "Подробное решение задач на нахождение приращения функции и вычисление производных различных функций",
"keywords": ["приращение функции", "производная", "математический анализ", "линейная функция", "многочлены", "дифференцирование"]
}

Давайте решим эти задачи пошагово:

1. Найдем приращение функции f(x) в точке x₀:

а) f(x) = 1 - 2x, x₀ = 4, Δx = -0,01

Шаг 1: Запишем формулу приращения функции:
Δf = f(x₀ + Δx) - f(x₀)

Шаг 2: Найдем f(x₀):
f(4) = 1 - 2(4) = 1 - 8 = -7

Шаг 3: Найдем f(x₀ + Δx):
f(4 - 0,01) = 1 - 2(4 - 0,01) = 1 - 8 + 0,02 = -6,98

Шаг 4: Вычислим приращение:
Δf = -6,98 - (-7) = 0,02

б) f(x) = 3x + 1, x₀ = 5, Δx = 0,01

Шаг 1: Найдем f(x₀):
f(5) = 3(5) + 1 = 16

Шаг 2: Найдем f(x₀ + Δx):
f(5 + 0,01) = 3(5,01) + 1 = 15,03 + 1 = 16,03

Шаг 3: Вычислим приращение:
Δf = 16,03 - 16 = 0,03

2. Найдем производные функций:

а) y = x⁵ - 4x³ - 2x + 3

Применяем правила дифференцирования:
y' = 5x⁴ - 12x² - 2

б) y = 2x³ + x⁴ - 1/x + 3

Применяем правила дифференцирования:
y' = 6x² + 4x³ + 1/x²

При решении производных использовались следующие правила:
- Производная степенной функции: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
- Производная суммы равна сумме производных
- Производная константы равна нулю
- Производная от 1/x равна -1/x²