Задание: Найти предел выражения

Найдем значение, к которому стремится выражение $\frac{8x-16}{x^2-4}$ при $x \to 2$

Решение:

1) Сначала подставим $x = 2$ в выражение:
* При $x = 2$ получаем $\frac{8(2)-16}{2^2-4} = \frac{16-16}{4-4} = \frac{0}{0}$
* Мы получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$

2) В таких случаях нужно разложить числитель и знаменатель:
* В числителе вынесем 8: $8x-16 = 8(x-2)$
* В знаменателе разложим разность квадратов: $x^2-4 = (x+2)(x-2)$

3) После преобразований получаем:
* $\frac{8x-16}{x^2-4} = \frac{8(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{x+2}$

4) Теперь можно найти предел:
* При $x \to 2$ подставляем значение:
* $\lim\limits_{x \to 2} \frac{8}{x+2} = \frac{8}{2+2} = \frac{8}{4} = 2$

Ответ: 2