{
"subject": "Алгебра",
"url_subject": "math",
"grade": 11,
"lang": "ru",
"title": "Решение логарифмического уравнения с переменным основанием",
"description": "Пошаговое решение сложного логарифмического уравнения с переменным основанием и квадратными выражениями",
"keywords": ["логарифм", "переменное основание", "логарифмическое уравнение", "квадратное выражение", "алгебра"]
}

Давайте решим это логарифмическое уравнение пошагово:

1) Для начала запишем условия существования логарифмов (ОДЗ):
* Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1:
* 1-2x > 0 и 1-2x ≠ 1
* 1-3x > 0 и 1-3x ≠ 1
* Подлогарифмические выражения должны быть положительными:
* 6x² - 5x + 1 > 0
* 4x² - 4x + 1 > 0

2) По свойству логарифмов, если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$
Применим это к нашему уравнению:
$(1-2x)^2 = (6x^2-5x+1)$
$(1-3x)^2 = (4x^2-4x+1)$

3) Раскроем скобки в левых частях:
* $(1-2x)^2 = 1-4x+4x^2$
* $(1-3x)^2 = 1-6x+9x^2$

4) Получаем систему уравнений:
* $1-4x+4x^2 = 6x^2-5x+1$
* $1-6x+9x^2 = 4x^2-4x+1$

5) Приведем подобные члены:
* $4x^2-4x+1 = 6x^2-5x+1$
* $9x^2-6x+1 = 4x^2-4x+1$

6) Упростим:
* $-2x^2+x = 0$
* $5x^2-2x = 0$

7) Решим каждое уравнение:
* $x(1-2x) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = \frac{1}{2}$
* $x(5x-2) = 0$, откуда $x = 0$ или $x = \frac{2}{5}$

8) Проверим полученные значения по ОДЗ и исходному уравнению.
После проверки получаем, что подходит только $x = 0$

Ответ: 0

Вы правы, давайте перепроверим решение более тщательно.

Ключевой момент - в исходном уравнении правая часть равна 2:

$\log_{1-2x}(6x^2-5x+1)-\log_{1-3x}(4x^2-4x+1)=2$

Это означает, что по свойству логарифмов:
$(1-2x)^2 = (6x^2-5x+1)$ - это неверно!

Правильное применение свойств:
Если $\log_a(M)-\log_b(N)=2$, то $\log_a(M)=\log_b(N)+2$

Тогда:
$\log_{1-2x}(6x^2-5x+1)=\log_{1-3x}(4x^2-4x+1)+2$

По свойству логарифмов это равносильно:
$(6x^2-5x+1)=(1-3x)^2\cdot(1-2x)^2$

Раскроем правую часть:
$(6x^2-5x+1)=(1-6x+9x^2)(1-4x+4x^2)$

Получим уравнение:
$6x^2-5x+1=(1-6x+9x^2)(1-4x+4x^2)$

После раскрытия скобок и приведения подобных получим уравнение более высокой степени.

Я приношу извинения за предыдущее неверное решение. Предлагаю вместе решить это уравнение заново, учитывая, что правая часть равна 2, а не 0. Это существенно меняет весь ход решения.

Хотите разобрать правильное решение пошагово?

Давайте продолжим решение:

1) После раскрытия скобок в правой части уравнения:
$(1-6x+9x^2)(1-4x+4x^2)$
$= 1-4x+4x^2-6x+24x^2-24x^3+9x^2-36x^3+36x^4$
$= 36x^4-60x^3+37x^2-10x+1$

2) Теперь наше уравнение принимает вид:
$6x^2-5x+1 = 36x^4-60x^3+37x^2-10x+1$

3) Приведем подобные члены:
$36x^4-60x^3+31x^2-5x = 0$

4) Вынесем общий множитель:
$x(36x^3-60x^2+31x-5) = 0$

5) Получаем, что $x = 0$ или $36x^3-60x^2+31x-5 = 0$

6) Проверим ОДЗ:
* $1-2x > 0$ и $1-2x ≠ 1$
* $1-3x > 0$ и $1-3x ≠ 1$
* $6x^2-5x+1 > 0$
* $4x^2-4x+1 > 0$

7) При $x = 0$:
* $1-2(0) = 1 > 0$ ✓
* $1-3(0) = 1 > 0$ ✓
* $6(0)^2-5(0)+1 = 1 > 0$ ✓
* $4(0)^2-4(0)+1 = 1 > 0$ ✓

8) Подставим $x = 0$ в исходное уравнение:
$\log_{1}(1)-\log_{1}(1) = 2$
$0 = 2$ ❌

Значит, $x = 0$ не является решением. Нужно решить кубическое уравнение $36x^3-60x^2+31x-5 = 0$ и проверить полученные корни по ОДЗ.

Предлагаю использовать численные методы или компьютерные вычисления для нахождения корней кубического уравнения, так как аналитическое решение будет очень громоздким.

Хотите продолжить решение с помощью численных методов?