Задание: Вычислить производные функций

На изображении представлены задания на вычисление производных функций. Разберем их по порядку.

1) Вычислить производную функции $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x - 3$

Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования:

1. $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
2. $(a \cdot f(x))' = a \cdot f'(x)$, где $a$ - константа
3. $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$
4. $(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$

Найдем производную каждого слагаемого:
- $(\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$
- $(\frac{1}{2}x^2)' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x = x$
- $(2x)' = 2$
- $(3)' = 0$ (производная константы равна нулю)

Теперь соберем все вместе:
$y' = x^2 - x + 2$

2) Вычислить производную функции $y = \frac{x^2-1}{x+1}$

Для нахождения производной дроби используем формулу:
$(\frac{u}{v})' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

Где $u = x^2-1$ и $v = x+1$

Найдем $u'$ и $v'$:
- $u' = (x^2-1)' = 2x$
- $v' = (x+1)' = 1$

Подставим в формулу:
$y' = \frac{2x \cdot (x+1) - (x^2-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$

Упростим числитель:
$2x(x+1) - (x^2-1) = 2x^2 + 2x - x^2 + 1 = x^2 + 2x + 1$

Таким образом:
$y' = \frac{x^2 + 2x + 1}{(x+1)^2}$

Заметим, что числитель можно представить как $(x+1)^2$, поэтому:
$y' = \frac{(x+1)^2}{(x+1)^2} = 1$

3) Вычислить производную функции $y = \sqrt{x} \cdot (1-\sqrt{x})$

Применим правило дифференцирования произведения:
$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Где $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$ и $v = 1-\sqrt{x} = 1-x^{1/2}$

Найдем $u'$ и $v'$:
- $u' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
- $v' = (1-x^{1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим в формулу:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (1-\sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}})$

Упростим:
$y' = \frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} = \frac{1-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{1-\sqrt{x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$