Подробное решение предела:
🧮 Рассмотрим предел: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 8x}{3x^2}$
Шаг 1: Анализ выражения
При $x \to 0$ мы имеем неопределенность типа $\frac{0}{0}$, так как:
- $\cos 8x \to 1$ при $x \to 0$, поэтому числитель $1 - \cos 8x \to 0$
- Знаменатель $3x^2 \to 0$ при $x \to 0$
Для раскрытия неопределенности используем известные тригонометрические формулы.
Шаг 2: Преобразование числителя
Используем тригонометрическую формулу: $1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$
Применяя эту формулу к нашему выражению, получаем:
$1 - \cos 8x = 2\sin^2 4x$
Шаг 3: Преобразование предела
Подставляем полученное выражение в исходный предел:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 8x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 4x}{3x^2}$
Шаг 4: Использование эквивалентности малых величин
При $x \to 0$ справедливо соотношение $\sin t \sim t$ (синус аргумента, стремящегося к нулю, эквивалентен самому аргументу).
Поэтому $\sin 4x \sim 4x$ при $x \to 0$, и $\sin^2 4x \sim (4x)^2 = 16x^2$
Подставляем в наш предел:
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 4x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 16x^2}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{32x^2}{3x^2}$
Шаг 5: Вычисление предела
Сокращаем $x^2$ в числителе и знаменателе:
$\lim_{x \to 0} \frac{32x^2}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{32}{3} = \frac{32}{3}$
Проверка решения:
Мы корректно применили формулу $1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$, где $\alpha = 8x$, поэтому $\frac{\alpha}{2} = 4x$.
Затем мы использовали эквивалентность $\sin t \sim t$ при $t \to 0$, что является стандартным приемом при вычислении пределов.
Ответ: $\frac{32}{3}$ 🎯
Дополнительные пояснения к решению:
📝 Почему мы используем формулу $1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$?
Эта формула является одной из основных тригонометрических формул, которая выводится из формулы косинуса двойного угла: $\cos 2\beta = \cos^2 \beta - \sin^2 \beta = 2\cos^2 \beta - 1$.
Отсюда получаем: $1 - \cos 2\beta = 2\sin^2 \beta$
Если обозначить $2\beta = \alpha$, то $\beta = \frac{\alpha}{2}$ и формула принимает вид: $1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$
📝 Почему $\sin x \sim x$ при $x \to 0$?
Это следует из разложения синуса в ряд Тейлора в окрестности нуля:
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - ... $
При $x \to 0$ все члены ряда, кроме первого, стремятся к нулю быстрее, чем первый член. Поэтому главная часть синуса при малых значениях аргумента — это сам аргумент.
Математически это записывается как $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, что означает, что $\sin x \sim x$ при $x \to 0$.
📝 Проверка ответа:
Мы можем проверить наш ответ, используя правило Лопиталя или разложение косинуса в ряд Тейлора:
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$
Подставляя $8x$ вместо $x$, получаем:
$\cos 8x = 1 - \frac{(8x)^2}{2!} + \frac{(8x)^4}{4!} - ... = 1 - \frac{64x^2}{2} + ...$
Тогда:
$1 - \cos 8x = \frac{64x^2}{2} - ... = 32x^2 - ...$
Подставляя в исходный предел:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 8x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{32x^2 - ...}{3x^2} = \lim_{x \to 0} (\frac{32}{3} - ...) = \frac{32}{3}$
Что подтверждает наш ответ.
