{
"subject": "Математический анализ",
"lang": "ru",
"grade": 11,
"url_subject": "math",
"title": "Исследование функции методом дифференциального исчисления",
"description": "Пошаговое решение задачи на исследование функции с построением графика",
"keywords": ["дифференциальное исчисление", "исследование функции", "область определения", "непрерывность", "асимптоты", "экстремумы", "график функции"]
}

Давайте разберем задачу пошагово:

1) Найдем область определения функции:
- Знаменатель не должен равняться нулю: 9 + x² ≠ 0
- 9 + x² > 0 - всегда выполняется для любого x
- D(f) = (-∞; +∞)

2) Исследование на непрерывность:
- Функция является отношением непрерывных функций
- Знаменатель нигде не обращается в ноль
- Следовательно, функция непрерывна на всей области определения

3) Найдем производную функции:
$y' = \frac{2(3+x)(9+x²) - (3+x)²(2x)}{(9+x²)²}$

4) Найдем точки экстремума, решив уравнение y' = 0:
- После упрощения получим точки x = -3 и x = 3

5) Интервалы возрастания и убывания:
- (-∞; -3) - возрастание
- (-3; 3) - убывание
- (3; +∞) - возрастание

6) Найдем асимптоты:
Горизонтальная асимптота:
- $\lim_{x \to \infty} \frac{(3+x)²}{9+x²} = 1$

Вертикальных асимптот нет.

7) График функции будет иметь два экстремума:
- В точке x = -3 (локальный максимум)
- В точке x = 3 (локальный минимум)
- Функция стремится к 1 при x → ±∞

[График функции y = (3+x)²/(9+x²) с указанием асимптот и экстремумов]