Решение предела:

Шаг 1: Определим предел $\lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-12}{\sqrt{x-2} - \sqrt{4-x}}$

Шаг 2: Подготовка к вычислению
- Знаменатель содержит квадратные корни
- Необходимо преобразовать выражение

Шаг 3: Алгебраические преобразования
- Числитель: $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$
- Знаменатель: $\sqrt{x-2} - \sqrt{4-x}$

Шаг 4: Умножение на сопряженное выражение
$\frac{(x-3)(x+4)}{\sqrt{x-2} - \sqrt{4-x}} \cdot \frac{\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}}{\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}}$

Шаг 5: Вычисление предела при $x \to 3$
- Результат: $\frac{0}{0}$ - неопределенность

Шаг 6: Дополнительный анализ требуется для точного решения

Решение предела: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-12}{\sqrt{x-2} - \sqrt{4-x}}$

Шаг 1: Анализ выражения
Проверим, что происходит при подстановке $x = 3$:
- Числитель: $3^2+3-12 = 9+3-12 = 0$
- Знаменатель: $\sqrt{3-2} - \sqrt{4-3} = \sqrt{1} - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0$

Получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, поэтому нужно преобразовать выражение.

Шаг 2: Разложение числителя
Разложим числитель на множители:
$x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$

Теперь предел имеет вид: $\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+4)}{\sqrt{x-2} - \sqrt{4-x}}$

Шаг 3: Преобразование знаменателя
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}$:

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+4)}{\sqrt{x-2} - \sqrt{4-x}} \cdot \frac{\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}}{\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x})}{(\sqrt{x-2})^2 - (\sqrt{4-x})^2}$

Шаг 4: Упрощение знаменателя
Используем формулу разности квадратов: $(a)^2 - (b)^2 = (a-b)(a+b)$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x})}{(x-2) - (4-x)}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x})}{x-2-4+x}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x})}{2x-6}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+4)(\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x})}{2(x-3)}$

Шаг 5: Сокращение
Сокращаем $(x-3)$ в числителе и знаменателе:

$= \lim_{x \to 3} \frac{(x+4)(\sqrt{x-2} + \sqrt{4-x})}{2}$

Шаг 6: Вычисление предела
Теперь можно подставить $x = 3$:

$= \frac{(3+4)(\sqrt{3-2} + \sqrt{4-3})}{2}$

$= \frac{7(\sqrt{1} + \sqrt{1})}{2}$

$= \frac{7(1 + 1)}{2}$

$= \frac{7 \cdot 2}{2} = 7$

Ответ: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-12}{\sqrt{x-2} - \sqrt{4-x}} = 7$