Пример 8.4: Вычисление производной функции $y = \sqrt{\cos(3x - 2)}$

🧮 Решение:
1. Применим правило сложной функции (цепное правило)
2. $y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos(3x-2)}} \cdot (-\sin(3x-2)) \cdot 3$
3. Упростим: $y' = -\frac{3\sin(3x-2)}{2\sqrt{\cos(3x-2)}}$

Пример 8.5: Вычисление производной функции $y = \arctan(\sqrt{x}) + \ln x$

🧮 Решение:
1. Используем правила дифференцирования
2. $y' = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$
3. Упростим: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} + \frac{1}{x}$

Пример 8.8: Уравнение касательной к графику функции $y = e^x$ в точке $x_0 = 0$

🧮 Решение:
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$: $y_0 = e^0 = 1$
2. Найдем производную: $y' = e^x$, в точке $x_0 = 0$: $y'_0 = e^0 = 1$
3. Уравнение касательной: $y - y_0 = y'_0(x - x_0)$
4. Подставим значения: $y - 1 = 1(x - 0)$
5. Упростим: $y = x + 1$

Пример 9.11: Вычисление интеграла $\int \ln x \, dx$

🧮 Решение:
1. Используем метод интегрирования по частям
2. $u = \ln x$, $dv = dx$
3. $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$
4. $\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx$
5. $= x \ln x - \int 1 \, dx$
6. $= x \ln x - x + C$

Пример 9.16: Вычисление интеграла $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x+1}}$

🧮 Решение:
1. Сделаем замену $u = x+1$, $du = dx$
2. $\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x+1}} = \int \frac{du}{u^{1/3}}$
3. $= \frac{3}{2} u^{2/3} + C$
4. Вернемся к исходной переменной: $= \frac{3}{2}(x+1)^{2/3} + C$

Пример 9.27: Вычисление интеграла $\int_0^2 x \cos x \, dx$

🧮 Решение:
1. Используем интегрирование по частям
2. $u = x$, $dv = \cos x \, dx$
3. $du = dx$, $v = \sin x$
4. $\int_0^2 x \cos x \, dx = [x \sin x]_0^2 - \int_0^2 \sin x \, dx$
5. $= 2 \sin 2 - [-\cos x]_0^2$
6. $= 2 \sin 2 + \cos 2 - 1$